NUM1_E2018WB 2018 חורף מועד ב

2018 חורף מועד ב’

שאלה 1

תרגיל 1

נשתמש בשיטת ניוטון. נשים לב שבמקרה שלנו:

נתחיל באיטרציות:

ניתן לראות שהשיטה תמשיך להתכנס לכיוון .

תרגיל 2

השיטה שמתוארת בשאלה היא אינטרפולציית לגרנג’. השגיאה שלו נתונה ע”י:

במקרה שלנו , ובנוסף:

נציב בנוסחה לשגיאה:

נשים לב שהמקסימום והמינימום של בתחום הם . בנוסף, רוצים שנבדוק עבור :

לפיכך:

תרגיל 3

מאחר והפונקציה היא אי-שלילית, לא נוכל להשתמש בשיטת החציה. אבל, כן נוכל להשתמש בניוטון-רפסון כי הפונקציה גזירה.

תרגיל 4

לא יודע. מי לעזאזל ניסח את השאלה הזאתי.

תרגיל 5

שגיאת שיטת סימפסון המרוכבת נתונה ע”י:

עבור המקרה שלנו:

הפונקציה היא פונקציה עולה ולכן מקבלת ערכים מקסימליים/מינימליים בקצוות :

נסיק שהשגיאה בערכה המוחלט תהיה מהצורה:

נדרוש שהיא לא תעלה על . אזי, נקבל תנאי על :

נסיק כי מספר התת-תחומים יהיה חייב לקיים:

ולכן מספר התת-תחומים המינימלי הוא .
לא מבין מה עובר עליהם בפתרון שלהם.

תרגול 6

האלגוריתם רץ מהשורה האחרונה, ובכל שורה על האיברים האחרונים בשורה. כלומר, הוא רץ על מטריצה משולשת עליונה.

תרגיל 7

הפתרון של המשוואה היא מהצורה:

אם נתייחס גם לתנאי שפה, נגלה שרק אם אז יש פתרון לבעיה והוא:

אז חד משמעית יש לבעיה הנתונה פתרון, אני לא מבין מה הם רוצים בתשובות שלהם.

תרגיל 8

זוהי מטריצה תלת אלכסונית, ולכן נוכל להשתמש בשיטת תומס לפתירתה, שהיא בעלת סיבוכיות .

תרגיל 9

זוהי משוואה לינארית, ולכן לפי שיטת הירי למשוואות לינאריות, נוכל לפתור אותה עם שתי יריות עם תנאי התחלה שונים.

שוב ניסוח גרוע של התשובות כי סעיף א’ זה פשוט מקרה פרטי של סעיף ג’. בסעיף א’ הבחירה של גם כן נחשב “ירייה”.
הייתי מערער את החיים שלי על המבחן הזה.

תרגיל 10

שיטת גאוס-לג’נדר ב- תהיה מדויקת לכל פולינום ממעלה ומטה. בנוסף, גם שיטת סימפסון מדויקת לכל פולינום ממעלה ומטה, ולכן זוהי התשובה.

שאלה 2

סעיף א’

מהגדרת הנורמה המושרית עבור מטריצות:

אם , כלומר אם היא וקטור, נקבל:

שזה בדיוק הנורמה- עבור וקטורים.

סעיף ב’

נמצא שורש חיובי בעזרת שיטת החצייה בקטע . נשים לב כי אכן הקצוות מקיימות .
איטרציה ראשונה, בקטע :

לכן את האיטרציה השנייה נבצע בקטע :

לכן את האיטרציה השלישית נבצע בקטע :

לאחר שלוש חציות הקירוב שלנו לשורש הוא:

סעיף ג’

נרצה למצוא את ה- שייתן . לכן נחליף את התפקידים של .
נשתמש באינטרפולציית לגרנג’:

הפולינומי לגרנג’ שלנו:

נציב בכל אחד מהפולינומים:

כעת נוכל למצוא את ערך הפולינום ב- :

נציב ונקבל:

ולכן:

סעיף ד’

לפי שיטת SOR (בכתיב מטריצי):

נציב נתונים ונקבל:

לסיכום:

נרצה למצוא את ההתכנסות לכל משתנה, ולוודא שהשגיאה היחסית לכל משתנה קטנה מ- :

עבור המקרה שלנו:

ולכן השיטה לא מתכנסת.

סעיף ה’

נרצה להעביר את האינטגרל לתחום . לכן נבצע את ההצבה:

לכן:

נציב באינטגרל:

נסמן:

נדרש אינטגרציית גאוס בשתי נקודות:

לכן הקירוב:

נציב:

נקבל:

סעיף ו’

נשתמש בשיטת ההפרשים המרכזיים עבור נגזרת שנייה:

נציב במשוואה שלנו ונקבל:

נסמן ו- . לכן תנאי השפה:

לפי שיטת ההפרשים לפנים נמצא ביטוי יותר נוח עבור התנאי שפה הראשון:

נעבוד בתחום עם (כפי שהתבקש):
באיטרציה הראשונה:

נציב את התנאי שפה:

נציב :

מפתרון מערכת המשוואות נקבל:

מהתנאי שפה:

שאלה 3

פה נמאס לי להתכונן למבחן.

סעיף א’

נוסחה זו משתמשת בשתי ערכים בתוך הקטע ולכן היא ממשפחת .

ולכן:

סעיף ב’

השגיאה תהיה נתונה ע”י הנוסחה שמהדף נוסחאות, כאשר נשים לב ש- :

סעיף ג’

נתונה הבעיה הבאה עבור ו-:

כדי לבצע הורדת סדר נסמן:

נציב במשוואות כדי לקבל:

נסכם שיש לנו את המערכת מד”ר:

בכתיב וקטורי:

סעיף ד’

נשתמש בשיטת אויילר המתוקנת עם , כאשר נשים לב ש-.

ולכן:

ולפיכך: