NUM1_E2018WA 2018 חורף מועד א

2018 חורף מועד א’

שאלה 1

תרגיל 1

שיטת :

כאשר:

עבור המקרה הפרטי בו , המקדמים יהיו נתונים ע”י:

נציב בחזרה בנוסחת איטרציה:

קיבלנו שהביטוי בצד ימין הוא פשוט שיטת סימפסון עבור צעד קבוע בגודל (בתחום סגור ).

תרגיל 2

אינטגרציה לפי סימפסון בתחום סגור לוקחת נקודות דגימה, ומבצעת עליהן אינטרפולציה פולינומית. לכן, היא תהיה מדויקת עבור פולינומים מסדר או פחות.
בנוסף, היא תהיה מדויקת אפילו עבור פולינום מסדר , מסיבות כמו אי תרומת הביטוי לשטח הגרף, וכל מיני סיבות אחרות כמו אינטגרציה בקטע סימטרי שכיף מאוד לקרוא עליהם כאן.

תרגיל 3

השיטה האיטרטיבית הנתונה:

שיטה זו, אם נרשום אותה בכתיב מטריצי, היא שיטה קבועה בה מטריצת הפיצול היא . לכן מטריצת האיטרציה תהיה (ע”פ הגדרתה) תהיה:

תרגיל 4

לא יודע מה זה שיטת הטרפז הפתוחה, אם מתכוונים לשיטה מרוכבת או לא, קיצר חרא של שאלה לא מובנת בעליל.

תרגיל 5

ההופכי:

נסיק כי:

הנורמות:

ולכן מספר המצב:

תרגיל 6

דרושים נקודות כדי לבצע אינטרפולציה מדויקת עבור פולינום ממעלה (גם אם הם לא במרחקים שווים אחד מהשני).

תרגיל 7

בשיטת רונגה-קוטה אנו לא מחשבים את הנגזרות של , שלפעמים מסובכות לחישוב או לא קיימות.

תרגיל 8

הפעולה שנוסחה בשאלה היא פשוט הורדת הסדר. זוהי שיטה אנליטית לחלוטין שמניבה מערכת משוואות אקוויולנטית למשוואה המקורית.

תרגיל 9

שיטת ההפרשים המרכזיים נתונה ע”י:

אם נשתמש ב-:

נשים לב שהביטוי הנתון הוא מהצורה הזו, ולכן:

שזו פשוט שיטת הפרשים המרכזיים עבור נגזרת שנייה (עם מרחק ).

תרגיל 10

נטו הגדרה של בעיה מוגדרת היטב או לא.

שאלה 2

סעיף א’

לפי פירוק LU:

נתחיל עם ה- החיצונית:

נעבור ל- האמצעית:

והאיבר האחרון:

קיבלנו:

סעיף ב’

מספר המצב עבור מטריצה נתון ע”י:

ולכן:

מחוקי נורמות:

נציב בחזרה את המספר מצב עבור כל מטריצה בנפרד ונקבל את האי שוויון:

סעיף ג’

שיטת ניוטון נתונה ע”י:

במקרה שלנו , אז הנגזרת:

נציב בנוסחה:

קיבלנו:

סעיף ד’

נחשב את פולינומי לגרנג’:

הפולינום שלנו יהיה נתון ע”י:

רוצים שנחשב עבור . נציב ונקבל:

קיבלנו:

סעיף ה’

לפי שיטת אויילר המשופרת:

והצעד מתעדכן לפי:

נשים לב שבמקרה שלנו:

בצעד הראשון, עם :

ולכן:

בצעד השני:

ולכן:

נסכם:

סעיף ו’

לפי שיטת הורדת הסדר, נסמן ו-. נציב במשוואה ונקבל:

בכתיב וקטורי:

נפרק לשתי בעיות התחלה שונות - ו-.

בשיטת הורדת הסדר:

הפתרון של הראשון לפי שיטת אויילר בצעד :

עבור הבעיה השנייה קל לראות שנקבל:

לפי שיטת הירי למשוואה לינארית:

כאשר:

נציב בחזרה ב-:

נסכם:

שאלה 3

סעיף א’

נשער את האינטגרל ע”י אינטגרציה של האינטרפולציה הפולינומית שלו לפי הנקודה . הפולינום לגרנג’ (היחיד):

ולכן האינטרפולציה:

לפיכך, הקירוב שלנו לאינטגרל:

לכן המקדם:

סעיף ב’

נפתח לטיילור את האינטגרנד:

נפתח לטיילור את הקירוב שלנו:

לפי הגדרת השגיאה:

ולכן:

כאשר .

סעיף ג’

האינטרפולציה שעשינו מדויקת עבור פולינומים מסדר , כלומר פונקציות קבועות. אבל, הקירוב לאינטגרציה שלנו מדויק עבור פולינומים מסדר , כלומר פונקציות לינאריות. הסיבה להבדל זה הוא שהביטויים במעלות אי-זוגיות () לא תורמים לשטח של הגרף.

סעיף ד’

הנוסחה היא פתוחה - היא לא כוללת חישוב של הפונקציה בקצוות הקטע.

סעיף ה’

נפרק את האינטגרל לשניים:

נשים לב שבמקרה הנתון:

עבור האינטגרל הראשון:

לפי הקירוב שלנו:

עבור האינטגרל השני:

לפי הקירוב שלנו:

נקבל:

ולכן:

סעיף ו’

הפתרון האנליטי:

לכן השגיאה בפועל היא:

לגבי השגיאה התאורטית, נחשב את הנגזרת השנייה:

זוהי פונקציה יורדת בקטע , ולכן מקבלת מקסימום ומינימום בקצוות:

בנוסף, בקטע הנתון, .
לכן לפי סעיף ב’, החסמים לשגיאה שלנו הם:

לסיכום: