FLD1_001 מבוא

מבוא

תורת הזרימה היא חקר זורמים במנוחה או בתנועה. לנושא יש יישומים למגוון רחב של נושאים כמו מערכות אספקת מים, משאבות ומדחסים והאווירודינמיקה של מכוניות ומטוסים.

הגדרת זורם

זורמים נוטים לזרום כאשר מופעל עליהם עומס מסוים, בעוד מוצקים עוברים דפורמציה. הגדרת יותר רשמית לזורם היא:

הגדרה:

זורם הוא חומר שעובר דפורמציה תמידית תחת מאמץ גזירה, לא משנה כמה נמוך המאמץ.

כיוון שהזורם ממשיך לנוע תחת עומס גזירה, ניתן לומר שזורם הוא חומר שלא יכול לעמוד תחת עומס גזירה כאשר הוא במנוחה.

לכן, נוזלים וגזים (או קיטור) הם פאזות שבהם זורמים יכולים להיות. אנו יכולים לראות את ההבדל בין מוצק לזורם באיור הבא:

הבדל בהתנהגות של זורם ומוצק כתוצאה מהפעלת כוח גזירה.

אם אנו מניחים זורם או מוצק בין שני לוחות, ואז מפעילים כוח גזירה , הוא יעבור דפורמציה. אבל, בעוד המוצק בשלב מסוים יגיע לשיווי משקל וינוח, הזורם ימשיך לעבור דפורמציה, כל עוד ימשיכו להפעיל עליו את העומס.

נשים לב שהזורם במגע עם המשטח המוצק לא מחליק. הוא בעל אותה המהירות כמו של המשטח בגלל תנאי האי-החלקה - המגובה ע”י ניסויים רבים.

משוואות בסיסיות

כדי לנתח בעיות בזורמים, נידרש להשתמש במספר חוקים בסיסיים החלים על תנועת זורמים, שהם:

1. חוק שימור המסה.
2. החוק השני של ניוטון.
3. שימור תנע זוויתי.
4. החוק הראשון של התרמודינמיקה.
5. החוק השני של התרמודינמיקה.

מושגי יסוד

הנחת הרציפות

אזור בחלל שמלא בזורם (למשל, האוויר) נראה רציף, אבל אם נביט יותר מקרוב, ניתן לראות שלמעשה הוא ברובו ריק. למעשה, המסה לא מפוזרת באופן רציף בחלל, אלא מרוכזת במולקולות שיחסית לגודל שלהן, די רחוקות אחת מהשנייה. לכן, לתכונה כמו צפיפות אין משמעות מפורשת כי מספר המולקולות הנמצאות בנפח מסוים משתנה כל הזמן.
אין הרבה משמעות להבחנה זו אם הנפח של הזורם אותו אנו רוצים לנתח מספיק גדול, כך שמספר המולקולות בו לא משתנה הרבה למרות המעבר העצום של המולקולות לאורך הגבול שלו. אבל, אם הנפח שאנו בוחרים יותר מדי גדול, יש מצב שלא נשים לב להבדלים משמעותיים בצפיפות בתוך הנפח עצמו.

נפח כללי של זורם, עם צפיפות משתנה (White & Xue, 2021)

לכן, נרצה למצוא את הנפח האידיאלי שמתחתיו יש חשיבות לווריאציה המולקולרית, ומעליו יש חשיבות לסך הווריאציות במספר המולקולות.

צפיפות מול גודל הנפח (White & Xue, 2021)

הצפיפות של זורם מוגדרת כ:

רוב הבעיות ההנדסיות עוסקות בגדלים פיזיקליים הרבה יותר גדולים מ-, שהוא הנפח הגבולי עבור רוב הנוזלים והגזים בלחץ אטמוספרי. לכן, בבעיות שאנו נעסוק בהם, נניח כי הזורם רציף. כלומר, הווריאציה בתכונות שלו כל כך חלקה, שניתן להשתמש בחשבון דיפרנציאלי כדי לנתח אותו.

כתוצאה מהנחה זו, אנו יכולים להניח שיש לזורם תכונות אינטנסיביות - תכונות בעלות ערך מפורש בכל נקודה בחלל - כמו למשל צפיפות, טמפרטורה, מהירות וכו’.

צמיגות

סימולציה של נוזלים עם צמיגויות שונות. הנוזל בצד שמאל פחות צמיגי מהנוזל בצד ימין. (Wikipedia).

צמיגות היא מידה כמותית להתנגדות הזורם לזרימה. אנו יכולים לנוע יחסית די בקלות בתוך אוויר, שבעל צמיגות מאוד נמוכה. התנועה הרבה יותר קשה במים, שבעל צמיגות הגדולה פי .

נביט בזורם הנמצא תחת מאמץ גזירה במישור אחד:

זורם הנגזר בקצב של .

זווית הגזירה תמשיך לגדול עם הזמן ככל שמאמץ מתמיד. המשטח העליון נע במהירות יותר גבוהה מהמשטח התחתון. זורמים נפוצים כמו מים, שמן וגז מראים יחס לינארי בין הגזירה המופעלת וקצב גדילת זווית הגזירה:

מהגאומטריה באיור, ניתן לראות ש:

מהנחת זוויות קטנות (מדובר בשינויים אינפיניטסימליים) מתקיים ולכן:

לכן, מהפרופורציונליות של מאמץ הגזירה, נקבל כי:

כאשר הוא מקדם הצמיגות, ובעל מידות של מאמץ-זמן . זורמים שפועלים לפי המשוואה הזאת נקראים זורמים ניוטוניים.

פרופיל מהירות של נוזל ניוטוני תחת מאמץ גזירה (White & Xue, 2021)

מאמץ הגזירה פרופורציונלי לשיפוע פרופיל המהירות, והוא הכי גבוה בקיר, בו המהירות היא יחסית אליו - תנאי האי החלקה.

הצמיגות של זורם ניוטוני היא תכונה תרמודינמית, ולכן ניתנת להגדרה ע”י שתי תכונות כמו טמפרטורה ולחץ. בכללי, הצמיגות של זורם גדלה מעט עם גדילה בלחץ. לעומת זאת, לטמפרטורה יש השפעה הרבה יותר גדולה, כאשר גדל אם גדל לגזים, ויורד אם גדל עבור נוזלים.

זרימה טורבולנטית ולמינרית

אם מפעילים ברז בזרם מאוד חלש, המים לרוב יזרמו בצורה מאוד חלקה. ככל שמגבירים את הזרימה, המים יצאו בצורה הרבה יותר כאוטית. אלו הם דוגמאות איך זרימה צמיגית יכולה להיות למינרית (שכבתית) או טורבולנטית (ערבולית).
בזרימה למינרית החלקיקים נעים באופן שכבתי. בזרימה טורבולנטית, החלקיקים מתערבבים כאשר הם נעים כתוצאה מווריאציות אקראיות במהירות התלת ממדית.

קווי מסלול של חלקיק בזרימה חד ממדית.

שדה מהירות ונגזרת מלווה

הגדרה:

שדה המהירות הוא שדה וקטורי, המתאר את המהירות הרגעית של נקודה כלשהי במרחב בזמן מסוים:

ניתן גם לרשום את השדה הוקטורי לפי הרכיבים הסקלרים שלו, שכל אחד מהם הוא פונקציה סקלרית בפני עצמו:

שימו לב:

משום מה הסימן לשדה מהירות בקורס זה הוא במקום . כלומר:

שזה מאוד מבלבל כי עכשיו יש ו- שהם בעלי משמעויות שונים מאוד. כעת בהגדרת שדה המהירות עדיין נשתמש בסימון , אבל לאחר מכן נצטרך להיכנע לסימוני הקורס ולעבור לסימון הנוראי .

תיאור זה של הזורם במרחב נקרא תיאור אויילר. בתיאור זה, אנו מודדים את תכונות כלל הזורם במרחב מסוים - לא אכפת לנו מאיך חלקיק מסוים מתנהג.
נוכל לתאר גם תכונות אחרות, אפילו סקלריות, במרחב ע”י תיאור אויילרי. עבור תכונה כללית:

תיאור אחר נקרא תיאור לגראנז’, בו עוקבים אחרי חלקיק בודד עם הזמן:

בתיאור זה למשל, נמדוד את המהירות שלו עם הזמן, כמו שעושים בפיזיקה:

נעסוק גם בנגזרות של התכונות, ולכן חשוב שנפתח גם את הנוסחה לנגזרת תכונה . נביט בחלקיק הנע בשדה זרימה, עם תכונה המתוארת באופן לגראנז’י.
לפי כלל השרשרת:

כאן האיבר הראשון מבטא את השינוי של התכונה בזמן בנקודה מסוימת והאיבר הנוסף מבטא את השינוי בתכונה כתוצאה מהסעה - כלומר, שינוי התכונה לאור העובדה שיש מהירות במערכת שמעבירה את התכונה מנקודה אחת לנקודה אחרת.
לנגזרת זו אנו קוראים נגזרת מלווה, ונסמן אותה האופרציה הזאת בסימון שונה מפעולה הגזירה הרגילה:

למעשה, הנגזרת הזאת נותנת לנו קשר בין תיאור לגראנז’י לתיאור אויילרי:

הביטוי הוא קצב שינוי התכונה בתיאורה הלגראנז’י, ואילו הביטוי הוא קצב שינוי התכונה בתיאורה האויילרי, בנקודה מסוימת.

דוגמה: מד-חום נופל מבניין

נתון מד-חום הנופל בקצב של מגג בניין בגובה . הפרשי הטמפרטורות בין גג הבניין לקרקע הוא תמיד (כאשר בגג הטמפרטורה הנמוכה), ולאורך הגובה הטמפרטורה משתנה באופן לינארי. השמש שקעה והטמפרטורה הכללית מתחילה לרדת בקצב של לשנייה. מהו קצב שינו הטמפרטורה המופיע במד-חום?
פתרון:
אנו רוצים למצוא את קצב שינוי הטמפרטורה של חלקיק הנע בשדה זרימה (המד-חום). כלומר, אנו רוצים למצוא את . נבצע נגזרת מלווה:

החלקיק שלנו נע במהירות של , והטמפרטורה בציר זה משתנה ב

בנוסף, נתון כי בכל המרחב הטמפרטורה משתנה ב- .
נציב בנגזרת המלווה:

בעצם מצד אחד כאשר המד-חום נופל, הוא מגיע לאזור יותר חם, אבל כלל הטמפרטורה יורדת באותו קצב (רק הפוך) שבו הוא מתחמם, ולכן הוא תמיד מראה את אותה הטמפרטורה.

זרימה חד ממדית, דו ממדית ותלת ממדית

נהוג לסווג זרימות לפי מספר הקואורדינטות מיקום הדרושות כדי להגדיר את שדה המהירות שלהן. לפי הגדרת שדה המהירות, ניתן לראות שהוא יכול להיות פונקציה של עד שלושה קואורדינטות - בו הזרימה תיקרא תלת ממדית.

בעוד שדות זרימה לרוב תלת-ממדיות, יהיה לנו יותר קל לנתח זרימות עם פחות ממדים. למשל:

דוגמה לזרימה חד-ממדית ודו-ממדית.

בזרימה זו אנו משתמשים בקואורדינטות גליליות כדי לתאר את הזרימה. כפי שניתן לראות, בצד שמאל של האיור, הזרימה ניתנת לתיאור ע”י קואורדינטה אחת, , לכן הזרימה היא חד-ממדית. לעומת זאת, בצד ימין של האיור ,המהירות יורדת בכיוון , ולכן הזרימה הופכת להיות דו-ממדית.