DVI1_005 אוסילטור פרמטרי

מבוא

הבן אדם האהוב על יזהר:

בפרק זה נעסוק ברטט פרמטרי במערכות מכניות. המונח פרמטרי בא לתאר מקרים בהם משום מה, העירור החיצוני נכנס למשוואת התנועה של המערכת כפרמטר (למשל קשיחות, מסה, וכו’) של המערכת. זה בשונה לבעיות של רטט מאולץ (forced vibration) בהם האנרגיה מוכנסת למערכת, והמערכת מגיבה, או לא, כתוצאה מהתהודה (resonance) שלה, אם היא בכלל קיימת. בבעיות רטט מאולץ הפרמטרים של המערכת לא משתנים כתוצאה מהכוחות המופעלים עליהם. מנגד, מערכת מעוררת פרמטרית תראה שינויים בפרמטר, למשל בקבוע הקפיץ.
מספר בעיות פרמטריות מופיעות באיור הבא:

דוגמאות של מערכות פיזיקליות הנתונות לרטט פרמטרי. (Cartmell, 1990).

נביט בבעיה הבא:

דוגמה:

נרשום את משוואות התנועה של המערכת. הלגראנז’יאן:

נקבל ממשוואות לגראנז’:

נתייחס לתגובת המערכת באמפליטודות קטנות (), ונקבל משוואות אוסילטור לינארי עם מקדם קשיחות שמשתנה בזמן באופן מחזורי:

נביט גם בבעיה הבאה:

דוגמה:

משוואות התנועה של החלקיק (ישנם כעת שני כיוונים):

כאשר:

נניח תזוזות קטנות סביב הראשית. יותר מכך, נניח שהתזוזות ב-, כך שכאשר נפתח לטיילור סביב הראשית:

עבור המשוואה השנייה, ניתן לרשום בקיצור (אין לי שמץ איך, זה פשוט מה שיולי רשם):

עבור המשוואה הראשונה, נשים לב שהפתרון הוא פשוט . נציב במשוואת התנועה בכיוון ונקבל:

בשתי הדוגמאות לעיל ראינו אוסילטור לינארי עם עירור פרמטרי הרמוני, והשם הכללי לאוסילטורים כאלה הוא אוסילטור פרמטרי, ומשוואות התנועה שלהם לאחר לינאריזציה נקראת משוואת מתייה (Mathieu):

גרסה יותר כללית של משוואה זו עבור פונקציית עירור שהיא מחזורית, אבל לא בהכרח הרמונית, נקראת משוואת היל (Hill):

התנועה כתוצאה מעירור פרמטרי היא לא יציבה, וגודלת, אקספוננציאלית, עם הזמן. העוצמה הסופית של התגובה לא מושפעת באופן ישיר ע”י הריסון הפועל על המערכת, אלא ע”י השפעות של תזוזות קיצוניות כמו למשל קשיחות לא לינארית ( וכו’). קשיחות לא לינארית נוטה להיות דומיננטית יותר מאשר הקשיחות הלינארית בהרבה מבנים ומכונות בהן התזוזות גדולות מספיק. הריסון בבעיות פרמטריות לרוב יותר רלוונטי בשלבים הראשוניים של התגובה שמתגברת עם הזמן; ריסון נמוך יגרום לתגובה מוקדמת ואנרגטית עבור עירור חלש. לעומת זאת, ריסון גבוה ידכא את מהירות התגברות התגובה, ויעלה את הסף עירור הנדרש ליצירת תגובה. אבל, בכללי, הוא לא ישפיע על האמפליטודה הסופית.

גדילת תגובה פרמטרית עם הזמן עבור קוֹרַת שְׁלוּחָה. (Cartmell, 1990).

נחזור למשוואת מתייה . נבצע נרמול שלה:

כאשר הוא התדירות של האוסילטור הלא מעורר.
ונקבל את המשוואה החסרת ממד:

נשווה לבעיה של אוסילטור לינארי הנתון לעירור מחזורי חיצוני:

באוסילטור הלינארי הנתון לעירור מחזור חיצוני, שבו התגובה מתבדרת לאינסוף רק במקרה שבו מתקיים היחס המדויק של () בין תדר העירור לתדר הטבעי של האוסילטור. במקרה של הרזוננס הפרמטרי, נראה שהתבדרות של התגובה של האוסילטור מתקבלת באזורים מסוימים שניתן לשייך ליחסי הרזוננס אותם נציין תכף.

יציבות - מבוא לתורת פלוקה

היציבות של משוואות מתייה והיל התחילה להתפתח לקראת סוף המאה ה-20 ע”י פלוקה.
נביט במשוואה לינארית עם מקדם קשיחות שמשתנה באופן מחזורי בזמן:

כאשר מחזורי - .
פתרון של מד”ר כזו הוא:

נראה שאם הינו פתרון של המשוואה, אזי גם הוא פתרון של המשוואה:

נגדיר :

ולכן הוא גם פתרון של המשוואה.

כעת, אם הוא פתרון של המד”ר המקורי, אז את שני הפתרונות גם ניתן לרשום כסופרפוזיציה של , כך שנקבל:

נרשום בקצרה:

באותו אופן, נוכל גם לרשום את ו- כקומבינציה לינארית של פתרונות אחרים ו-:

או בקצרה:

לאחר קצת מניפולציות מאלגברה, נוכל לרשום:

ניתן לבחור את כך שתלכסן את , כך של- יש זוג ע”ע , שנניח שהם שונים. לכן:

או, באופן של מערכת משוואות:

מכאן שאם אחד הע”ע מקיים , אזי הפתרון מתבדר באופן אקספוננציאלי, מה שגם אומר שגם הפתרון של המד”ר המקורית יתדבר.

כיצד נדע מתי ?
הפתרונות הבלתי תלויים המקוריים לא ידועים, אבל נוכל להניח שהם מקיימים תנאי התחלה בת”ל מהצורה:

נציב את תנאי התחלה אלו לתוך משוואות ו- כדי לקבל:

ולכן:

הפולינום האופייני של מטריצה זו:

לאחר מספר מניפולציות שאין לי כוח לרשום שנוגעות לוורונסקיאן, מגיעים לפולינום האופייני:

נוכל לרשום את הפתרונות כ:

כאשר .

מכאן רואים שמתקיים הקשר:

מה שמסווג את היציבות שלנו לשלושה מקרים:

1. הע”ע ממשיים, בעלי אותו סימן, וגדלים שונים כך שאחד גדול מ- והשני קטן מ-.
2. השורשים ממשיים והם .
3. השורשים הם זוג מספרים מרוכבים צמודים כך ש- .

נסיק עבור כל אחד מהמקרים על היציבות ש:

1. המערכת לא יציבה, עם תגובה אחת שתגדל אקספוננציאלית, והשנייה תדעך לאפס.
2. המערכת על הגבול בין יציבות ואי-יציבות, והתנהגותה תלויה בתנאים החיצוניים.
3. המערכת יציבה, גם עם עירורים חיצוניים חזקים.
   

   המחשת היציבות של המערכת עבור המקרים השונים. ו- כאן הם הסימון בספר ל- ו- אצלנו. (Cartmell, 1990).

נסיק שאם ברצוננו לחקור את יציבות המערכת, עלינו למצוא את הגבול בין יציבות ואי-יציבות, כלומר למצוא מתי , שלפי זה למצוא מתי:

תרגילים

תרגיל 1

נתונה המערכת הבאה:

עבור מחזורית, כלומר . הקשיחות היא מהצורה:

בצורה גרפית:

פונקציית הקשיחות .

סעיף א’

פתור את המערכת עבור קשיחות ועבור קשיחות .

פתרון:

• עבור , המערכת היא: כאשר הסימון הוא עבור המקרה הספציפי של .
  הפתרון של מערכת כזאת הוא פתרון ידוע: כאשר: כאשר .
• עבור , המערכת היא: כאשר הסימון הוא עבור המקרה הספציפי של .
  הפתרון: כאשר: כאשר .

סעיף ב’

נסח את הפתרון המלא בעזרת תפירת הפתרון.

פתרון:
ראשית, נפרוש את מרחב הפתרונות בעזרת מתן שני תנאי התחלה בת”ל:

כעת נתפור את הפתרון עבור כל זמן . נדרוש שהמיקום והמהירות בכל זמן יהיו רציפים ולכן עלינו לדרוש:

נקבל את מערכת המשוואות:

נציב את ואת כדי לקבל (עבור ):

ניתן לכתוב בצורה מטריצית:

נפתור עבור ו-:

באותו אופן עבור נקבל:

הפתרון שמתקבל יהיה סופרפוזיציה של ו- בחצי המחזור הראשון, ו- בחצי המחזור השני.

סעיף ג’

מצאו את עקומי המעבר והציגו בדיאגרמת Strut.

פתרון:
כדי למצוא עקומי מעבר בין יציבות לאי עלינו למצוא עקום עבורם:

מהצבת הפתרונות שקיבלנו נקבל:

לאחר ההצבה נקבל ביטוי מפורש ל- ו-, שבעזרתו נוכל לשרטט את העקומים.

נשים לב ש:

קיבלנו עקומים שתלויים ב- ו- ולכן תלויים ב- , שניתן לשרטט כדי לקבל דיאגרמת Strutt:

דיאגרמת Strutt של הבעיה הנתונה.

נקודות בתוך הלשוניות מתארות ערכי בהם המערכת לא יציבה. התגובה במישור הזמן לנקודות הרלוונטיות:

תגובה לתנאי התחלה בערכי התואמים לנקודות בגרף Strutt לעיל.

הקוד לגרף ב-MATLAB נמצא בGitHub.