DEQ1_010 מערכת משוואות

מערכת משוואות דיפרנציאליות

פתרון מערכת הומוגנית עם מקדמים קבועים

עבור מערכת משוואות מהצורה:

1. נמצא פ”א למטריצה: .
2. נמצא ע”ע () ואת הו”ע שלה ().
3. הפתרון הוא:

מקרה א’ - ע”ע שונים וממשיים

תרגילים:

1. המערכת: פתרון:
   פ”א: נמצא את הוקטורים העצמיים:
   עבור : עבור : ולכן:

מקרה ב’ - ערכים עצמיים מרוכבים

תרגילים:

1. המערכת: פתרון:
   נמצא פ”א וע”ע. נשים לב שמאחר ו: אז לפי סכום ומכפלת הערכים העצמיים: נמצא ו”ע: ומכאן הפתרון הכללי: נבחר רק את הוקטורים ונבנה את הפתרון הכללי:

מקרה ג - מטריצה לא לכסינה

במקרה והמטריצה לא לכסינה (לאחר הע”ע הריבוי האלגברי גדול מהריבוי הגיאומטרי), נציע פתרון מהצורה:

כאשר דרגת הפולינום תלויה במספר הו”ע החסרים.

תרגילים:

1. פתרו את המערכת הבא: פתרון:
   הע”ע הוא מריבוי אלגברי . אם נציב נקבל שהר”ג הוא ולכן חסר לנו וקטור עצמי אחד.
   לכן נציע פתרון: נגזור ונקבל: נציב במערכת: נשווה מקדמים: נציב בחזרה ב-: ולכן הפתרון הכללי:
2. המערכת: פתרון:
   כאשר המטריצה מדורגת או משולשת איברי האלכסון הם הע”ע: הו”ע של הוא: הריבוי הגיאומטרי של הוא . בעיה. נציע פתרון מהצורה: לכן: נציב במערכת: נשווה מקדמים: נחזור לפתרון: ולכן הפתרון הסופי:

פתרון מערכת אי-הומוגנית עם מקדמים קבועים

אלגוריתם: שיטת האלימינציה

תרגילים:

1. המערכת: נרשום את המשוואות בצורה מפורשת: נחלץ את מהמשוואה הראשונה: נציב במשוואה השנייה: קיבלנו משוואה עם מקדמים קבועים:
   חלק הומוגני - פ”א: ולכן: נציע פתרון פרטי: נציב בחזרה במד”ר: השוואת מקדמים: לכן: ואז: נהוג לרשום פתרון סופי כוקטור:

אלגוריתם: שיטת וריאציית הפרמטר

תרגילים:

1. המערכת: פתרון:
   נמצא פתרון לחלק ההומוגני: מטריצה לכסינה. ו”ע: נפתור את החלק הלא הומוגני. נציע פתרון מהצורה: ונפתור את מערכת המשוואות: השוואת מקדמים: נקבל: נמצא את : עבור : ולכן: נציב בפתרון: ולכן הפתרון הפרטי הוא: