פנגייה

CAL2_006 נגזרות של פונקציות בשני משתנים

הערות:

כל הגדרה כאן ניתן בקלות להרחיב לפונקציה ב- משתנים.

נגזרות חלקיות

תנו לעצמכם שני כאפות ותיזכרו בנגזרות.
עכשיו נעשה את זה עם שני משתנים.
ציטוט מנאדר:

נגזרת חלקית

הגדרה:

תהי הפונקציה המוגדרת בסביבת הנקודה כולל. נניח שקיים הגבול הסופי:

גבול זה נקרא הנגזרת החלקית של לפי בנקודה .

הערות:

  1. נגזרת חלקית לא גוררת רציפות!

דוגמאות:

  1. עבור הפונקציה הבאה:

הנגזרת שלה:

נשים לב כי הפונקציה לא רציפה ב-, אבל הנגזרת החלקית שלה עדיין קיימת.

משמעות גיאומטרית לנגזרת החלקית:
אנו מקבעים את הערך של ל-, ובכך בעצם מקבלים פונקציה במשתנה אחד - זהו החתך של המשטח עם המישור . למשל, עבור ו-:

פונקציה במשתנה אחד אנו יודעים לחשב את הנגזרת שלה:

פונקציית הנגזרת החלקית

הגדרה:

תהי פונקציה המוגדרת בתחום . נגדיר את הפונקציה , בתחום המוכל ב- כאשר , מוגדרת לכל נקודה שבה הנגזרת החלקית לפי קיימת.

פונקציית הנגזרת החלקית היא גם פונקציה בשני משתנים. עבור הדוגמה הקודמת, אם נגזור עבור כל חתך עם כל מישור :

דוגמאות:

  1. הפונקציה:

אזי הנגזרת החלקית שלה לפי :

נאמר גם כי אינה גזירה ברציפות לפי בנקודה כי הגבול הבא לא קיים:

כלומר, הנגזרת החלקית לפי לא רציפה ב-.

פונקציה גזירה ברציפות

הגדרה:

הפונקציה גזירה ברציפות לפי בנקודה אם רציפה ב-.

תרגילים:

  1. בדקו רציפות וקיום נגזרות חלקיות בראשית עבור הפונקציה הבאה: פתרון:
    נבדוק רציפות בעזרת סנדוויץ’: ולכן רציפה. נבדוק נגזרות חלקיות:
  2. האם הפונקציה הבאה רציפה ובעלת נגזרות חלקיות: האם הפונקציה רציפה ובעלת נ”ח?
    פתרון:
    עבור רציפות נבדוק מסלול : ולכן לא רציפה.

דיפרנציאביליות

על מנת להציג את הרעיון של גזירה של פונקציה בשני משתנים, עלינו להביט בהגדרה שקולה לנגזרת של פונקציה במשתנה אחד שאנו מכירים. את הגדרה שקולה זו קל לנו יותר להרחיב לפונקציה בשני משתנים.

הגדרה שקולה לנגזרת של פונקציה במשתנה אחד

ניזכר בהגדרת הנגזרת:

נסמן, וממשפטי גבולות נוכל להסיק כי:

נסמן את הפונקציה החדשה ב-:

ומתקיים:

סבבה מגניב, מה עשינו בזה? מה ה- מסמל? טיפה קשה להבין פשוט ממבט ראשון על הפונקציה, אבל אם נסדר טיפה את נקבל:

קיבלנו בצד ימין את משוואת הישר המשיק לפונקציה בנקודה ועוד איזשהו ביטוי . בצד שמאל יש את הפונקציה המקורית. קל להבין ש- הוא ההפרש בין הפונקציה לישר המשיק לפונקציה בנקודה. למשל עבור :

אז ניתן לחשוב על הפונקציה כההפרש בין הישר המשיק לפונקציה ביחס למרחק מהנקודה.
נשים לב כי מצאנו הגדרה שקולה (הכיוון השני טריויאלי):

הגדרה:

תהי פונקציה המוגדרת בסביבה של . אם קיים קבוע ופונקציה המקיימים:

כאשר:

אז נאמר כי הפונקציה גזירה בנקודה והערך שלה בנקודה זו הוא .

הערות:

  1. הישר המשיק נקרא גם קירוב לינארי של בנקודה . באותו אופן, כאשר נרחיב לפונקציה בשני משתנים, המישור המשיק לפונקציה בנקודה נקרא גם קירוב לינארי.
  2. קיום קירוב לינארי (ישר משיק) לא בהכרח גורר קיום נגזרת. למשל .

כעת עלינו להרחיב את ההגדרה לפונקציה בשני משתנים. נשים לב כי כאשר אנו עוברים מהמישור הדו מימדי למרחב התלת מימדי, הרבה פעמים יש אנלוגיה חזקה בין ישר בדו מימד - למישור בתלת מימד. אז כמו שיש לנו ישר משיק לפונקציה במשתנה אחד, נגדיר מישור משיק לפונקציה בשני משתנים:

מישור משיק למשטח

הגדרה:

תהי נקודה על משטח המתואר ע”י הפונקציה , ותהי כל עקומה במשטח זה העוברת דרך נקודה . אם הישרים המשיקים לכל עקומה ב- נחים על אותו מישור, אז נאמר כי מישור זה משיק למשטח בנקודה .
book

הגדרה שקולה אלגברית:

הגדרה:

יהי משטח המתואר ע”י הפונקציה . ותהי נקודה בתחום ההגדרה של , כאשר הנגזרות החלקיות של קיימות בסביבה של . אזי, המשוואה של המישור המשיק ל- בנקודה נתונה ע”י:

הסבר:
זוהי למעשה הרחבה של הישר המשיק למישור משיק - רק שהפעם אנו צריכים לשים לב לנגזרות החלקיות:

  • הערך נותן לנו שיפוע של ישר המשיק לנקודה כאשר .
    מכאן ניתן לבנות וקטור כיוון של ישר משיק זה:
  • הערך נותן לנו שיפוע של ישר המשיק לנקודה כאשר .
    מכאן ניתן לבנות וקטור כיוון של ישר משיק זה:

מכפלה וקטורית של ו- תניב לנו וקטור נורמל למישור המשיק:

דוגמה עבור ונקודה .

כעת נוכל לבנות את משוואת המישור מנורמל ונקודה:

דיפרנציאביליות

הגדרה:

תהי הפונקציה המוגדרת בסביבת הנקודה . נאמר ש- דיפרנציאבילית ב- אם קיימים שני קבועים ממשיים כך ש:

ומתקיים:

קל לראות את הדמיון להגדרה במשתנה אחד. הפעם נשים לב כי ישנם שני קבועים - ו-, וגם כי במקום , יש ככפל ב-. הסיבה לכך היא שבמשתנה אחד היה אכפת לנו ממרחק הערך מ-, ובדו מימד אכפת לנו ממרחק הערך מ-.

באותו אופן כמו בנגזרת של פונקציה במשתנה אחד, נראה כי ערכי הם למעשה ערכי הנגזרות החלקיות ו- בנקודה .

הערות:

  1. שוב בהגדרה זו יש לנו בצד שמאל את הפונקציה ובצד ימין משוואת מישור (ולא משוואת ישר) משיק ועוד . כלומר,
    הוא ההפרש בין הפונקציה למישור.
  2. אנו דורשים ש- ישאף לאפס - כלומר, אנו דורשים שההפרש בין המישור לפונקציה יחסית למרחקו מהנקודה ישאף לאפס.

דוגמה עבור והנקודה :

דוגמאות:

  1. עבור הפונקציה:

ניקח את הנקודה . נוכיח כי הפונקציה דיפ’ בנקודה זו. נשים לב כי . נבחר (בהמשך נלמד איך מוצאים אותם). נשים לב כי:

אכן הפונקציה דיפ’ בנקודה זו.

הערות:

  1. התרגום של דיפרנציאבילית באנגלית זה “גזירה”. למה אנחנו קוראים לזה ככה ולא פשוט “גזירה” כמו בפונקציה במשתנה אחד - אין לי שמץ.

דיפרנציאביליות גוררת רציפות

משפט:

אם דיפ’ בנקודה , אז:

  1. הפונקציה רציפה ב-.
  2. קיימות הנגזרות החלקיות:

דוגמאות:

  1. הפונקציה:

נשים לב כי רציפה ב-. נחשב את הנגזרות החלקיות ונקבל:

נסיק כי הדיפ’:

וגבול זה לא קיים.

רציפות נגזרות חלקיות גוררת דיפרנציאביליות

משפט:

  1. תהי המוגדרת בסביבה של (כולל). אם פונקציות הנגזרות החלקיות, , רציפות ב- אז דיפ’ ב-.

הערות:

  1. זהו תנאי מספיק, לא הכרחי! ראו דוגמה 1.

דוגמאות:

  1. הפונקציה:

נחשב דיפ’:

נשים לב כי הפונקציה דיפ’, למרות שראינו בדוגמה קודמת שהנגזרות החלקיות לא רציפות!
יש אנלוג לזה במשתנה אחד? כן! הפונקציה:

ראו תרגיל 1 ב-כלל השרשרת.

משוואת המישור המשיק לפונקציה

משפט:

אם פונקציה דיפ’ ב-, אז המישור:

הוא מישור משיק למשטח הפונקציה.

תרגילים:

  1. מצאו את המישור המשיק למשטח: בנקודה .
    נמצא את נקודת ההשקה: נמצא את הנגזרות החלקיות: באותו אופן עבור ונסיק כי משוואת המישור המשיק למשטח:

כלל השרשרת

כלל השרשרת ממשטח לעקומה

נתחיל מבעיה:

תהי בתחום ותהי עקומה :

המוכלת ב-.
נסמן ונבחר . אז הנקודה על המשטח היא . בכללי, לכל העקומה , יש את העקומה שלה על המשטח :

נחזור לנקודה . כיצד נמצא את ?

משפט:

בהינתן פונקציה דיפ’ בתחום , עקומה גזירה המוכלת ב- ונקודה על . אזי:

הסבר:
כיוון ש- דיפ’, נוכל לרשום:

וידוע כי כאשר . או במילים אחרות, כאשר .
נחלק ב-:

ומכך ש- גזירה נוכל לומר כי כאשר :

וקיבלנו את המשפט.

כלל השרשרת משני משטחים למשטח

משפט:

יהיו הפונקציות ו- בעלות נגזרות חלקיות לפי ולפי בתחום במישור . תהי פונקציה דיפ’ ב- במישור כאשר .
אז הפונקציה המורכבת:

גזירה חלקית לפי ולפי ומתקיים:

תרגילים:

  1. נתונה הפונקציה בעלת נגזרות חלקיות רציפות בכל המישור, כאשר נתון: ונניחכיבסביבתמוגדרתהפונקציה f(x,y)=g\left( \frac{x}{y},x^{2}+y \right) Erroneous nesting of equation structures- הוכח כי ל-$f$ יש מישור משיק ב-$(1,1)$ וחשב את משוואתו. **פתרון**: מהנתונים נסיק כי $g$ דיפ' לכל $\mathbb{R}$ ובפרט לכל $x,y\neq 0$. לכן גם $f$ דיפ' לכל $x$ ו-$y\neq 0$. נסמן: $$ \begin{gather} u=u(x,y)=\frac{x}{y} \\ v=v(x,y)=x^{2}+y \end{gather} $$ אם $(x,y)=(1,1)$ אז $(u,v)=(1,2)$. נתון גם כי $u(x,y)$ ו-$v(x,y)$ גזירות חלקית בסביבת הנקודה $(1,1)$. נחשב את הנגזרות החלקיות: $$ \begin{gather} f(x,y)=g(u(x,y),v(x,y)) \\ \end{gather} $$ $$ \begin{align*} f'_{x}(1,1)&=g'_{u}(u(1,1),v(1,1))\cdot u'_{x}(1,1)+g'_{v}(u(1,1),v(1,1))\cdot v'_{x}(1,1) &\\ &=g'_{u}(1,2)\cdot 1+g'_{v}(1,2)\cdot 2 \\ &=4\\ f'_{y}(1,1)&=g'_{u}(u(1,1),v(1,1))\cdot u'_{y}(1,1)+g'_{v}(u(1,1),v(1,1))\cdot v'_{y}(1,1) \\ &=g'_{u}(1,2)\cdot(-1)+g'_{v}(1,2)\cdot 1 \\ &=-1 \end{align*} $$ נשים לב כי $f(1,1)=g(1,2)=-2$. קיבלנו כי משוואת המישור היא: $$ \begin{gather} z-(-2)=4(x-1)+(-1)(y-1) \\ z=4x-y-5 \end{gather} $$ - מהי נקודת חיתוך הנ"ל על ציר $z$? **פתרון**: $$ (0,0,-5) $$

תרגילים:

  1. תהי דיפ’ ומקיימת: מגדירים פונקציה חדשה: חשבו את .
    פתרון:
    נשים לב כי: נסמן: נפעיל את כלל השרשרת:
  2. התרגיל הכי קשה שרבקה מצאה:
  3. תהי בעלת נ”ח רציפות עד סדר שני בכל נקודה, כמו כן מתקיים: נגדיר פונקציה חדשה: חשבו את: פתרון:
    נסמן . נקבל: לפי הנתונים, כאשר נשים לב כי :

כלל השרשרת ממרחב למשטח

משפט:

תהי דיפ’ במרחב כאשר:

דיפ’ במישור ומוכלות ב-. אז הפונקציה המורכבת:

גזירה לפי ו- ומתקיים:

כלל השרשרת ממשטח למרחב

משפט:

תהי דיפ’ ב- המוכל במישור . נתון:

בעלות נגזרות חלקיות רציפות בתחום במרחב. בנוסף, יהי :

אז:

נגזרות מעורבות

נגזרות מעורבת

הגדרה:

תהי הפונקציה בתחום בעלת נגזרת חלקית לפי . אם קיים הגבול הבא עבור הנקודה :

נקרא לגבול זה הנגזרת המעורבת מסדר שני בנקודה , ונסמנו:

שוויון נגזרות מעורבות

משפט:

תהי פונקציה גזירה ברציפות מסדר 2 לפי ולפי . כלומר, רציפות. אזי:

דוגמאות:

  1. דוגמה רעה:

נקבל:

נוכל להסיק מכך שהפונקציה לא גזירה ברציפות מסדר שני לפי ולפי .

דיפרנציאל

ניזכר בסימוני הנגזרת במשתנה אחד:

עבור נקודה מסוימת:

נעביר אגפים ונקבל:

דיפרנציאל

הגדרה:

תהי הפונקציה בתחום , והנקודה . נניח ש- בעלת נגזרות חלקיות לפי ולפי ב-. נגדיר את הדיפרנציאל של בנקודה בצורה הבאה:

דיפרנציאל מסדר שני

הגדרה:

אם גזירה ברציפות מסדר שני לפי ולפי (כולל הנגזרות המעורבות). נגדיר דיפרנציאל מסדר שני בצורה הבאה: