CAL2_003 משטחים ריבועיים

עקומים במישור

עקומה

הגדרה:

עקומה היא קו חד-ממדי ורציף. צורה אינטואיטיבית, עקומה היא קו ישר שהופעלו עליו פעולות של עיקום ופיתול, מבלי “לקרוע” אותו.

עקומים מישוריים

תזכורת:
קו ישר:

פרבולה:

מעגל:

אליפסה:

היפרבולה:

תרגילים:

1. נתונה משפחת העקומים: חקרו ומצאו את אוסף כל העקומים השייכים למשפחה זו - עבור כל ערך של .
   פתרון:
   נפתח את המשוואה, כך שכל הקבועים יהיו באגף ימין: נפרק למקרים:
   • כאשר : אלו הם שני ישרים מקבילים.
     • כאשר :
     זוהי נקודה בודדת .
     • כאשר :
     זוהי קבוצה ריקה.
     • כאשר :
     זהו אוסף אליפסות.
     • כאשר :
     זהו אוסף היפרבולות.
2. נתונה משפחת העקומים הבאה:
   
   קבעו אלו מבין העקומים הבאים שייכים למשפחה זו: מעגל אליפסה, פרבולה, קו ישר, נקודה בודדת.
   פתרון:
   - מעגל - אין. אין עבורו נקבל .
   - אליפסה - כנ”ל.
   - נקודה בודדת - כנ”ל.
   - קו ישר - עבור :
   
   - פרבולה - עבור :
   
3. ציירו את אוסף העקומים הנתונים ע”י:
   
   - אם :
   
   כלומר, או - קיבלנו את הצירים.
   - אם :
   אם ולכן ניתן לחלק את המשוואה ב-:
   
   נסמן :
   
   
   קיבלנו אוסף קווים ישרים העוברים דרך הראשית, לא כולל הראשית אבל אם:
   - אם , זוהי קבוצה ריקה.
   - אם , אז קיבלנו את אוסף ישרים זה.

משטחים ריבועיים

נביט במשוואה הבאה:

אוסף כל הנקודות המקיימות את משוואה זו יוצרות מעטפת כדורית (ספרה):

מעטפת כדורית היא דוגמה למשטח ריבועי:

משטח ריבועי

הגדרה:

משטח ריבועי הוא גרף של משוואה מהצורה הכללית הבאה:

כאשר:

הערות:

1. נשים לב כי אם:

אז המשוואה תתאר מישור.

חתך של משטח

הגדרה:

חתך של משטח הוא עקומה המתקבלת מחיתוך המשטח הנתון עם מישור המקביל לאחד המישורים במערכת הקרטזית.

למשל, אם בוחרים מישור , החתך שתקבל נקרא חתך אופקי או עקומת גובה.
אם בוחרים או , החתך נקרא אנכי.

נביט בחתכים של משטח הבא:

נחתוך אותו עם המישור , ונקבל:

נשים לב כי:

1. אם , לא קיימים חתכים אופקיים.
2. אם , קיבלנו שתי נקודות.
3. אם , נקבל מעגל.

אליפסואיד

הגדרה:

כאשר .

הערות:

נביט בחתך האנכי , ונשים לב כי:

1. אם אז אין חיתוך.
2. אם נקבל שתי נקודות.
3. אם אז נקבל אליפסה.

היפרבולאיד

הגדרה:

היפרפלואיד חד יריעתי:

היפרפלואיד דו-יריעתי:

פרבולאיד אליפטי:

הגדרה:

פרבולאיד היפרבולי

הגדרה:

חרוט דו צדדי

הגדרה:

תרגילים:

1. נתונה הפונקציה: מבין כל משטחי הרמה של הפונקציה ב-, בהכרח קיים:
   היפרבולואיד, גליל, פני כדור, אליפוסאויד, נקודה בודדת.
   פתרון:
   אוסף משטחי הרמה:
   • פני כדור:
     עבור :
     • אליפסואיד:
       עבור :
     • נקודה בודדת:
       עבור :
     נקבל נקודה בודדת.
     • גליל:
       עבור :
2. נתונה הפונקציה:
   
   ויהי משטח רמה של . מצאו את כל ערכי עבורם משטח הרמה הוא היפרבולואיד דו-יריעתי.
   פתרון:
   נחקור:
   
   נדרוש היפרבולואיד דו-יריעתי על המקדמים: