טורי מספרים

טור מספרים

הגדרה:

תהי סדרת מספרים. נגדיר לכל את:

נאמר כי טור המספרים מתכנס אם סדרת הסכומים החלקיים מתכנסת (לגבול סופי) ונסמן:

אם אינו מתכנס, נאמר גם כי הוא מתבדר.

דוגמאות:

עבור אלו ערכי הטור מתכנס, ומה גבולו (כלומר מה סכום הטור)?
פתרון:

בדיוק עבור :

האם מתכנס?
פתרון:

האם מתכנס?
פתרון:

סכום של טור הנדסי

משפט:

תהי סדרה הנדסית כאשר . אזי מתקיים:

אם הטור מתכנס אז הסדרה שואפת לאפס

משפט:

אם מתכנס אז .

הוכחה:

הערות:

נשים לב כי תכונה זו לא בהכרח מתקיימת באינטגרלים מוכללים.

תכונות בסיסיות של טורי מספרים

משפט:

לינאריות:
אם מתכנסים, אז:

אדיטיביות:

הטור מתכנס לכל הטור מתכנס קיים עבורו מתכנס ובמקרה זה:

מונוטוניות:
אם לכל וגם מתכנסים, אז:

בנוסף, אם קיים אינדקס עבורו , אז .
4. אי שוויון המשולש לטורים:
אם מתכנס, אז .

תרגילים:

חשבו: ולכן: כלומר, קיים וסופי
חשבו: ולכן: כלומר מתבדר.

טורים אי שליליים

הגדרה:

נאמר כי הוא טור אי-שלילי (חיובי) אם () לכל . נסמן עבור טור אי שלילי:
עבור התכנסות - .
עבור התבדרות - .

הערות:

אם הוא טור אי שלילי אז:

ולכן היא סדרה עולה, ולכן מתכנסת אמ”ם חסומה מלמעלה.

תנאי התכנסות טור

משפט:

יהי טור אי שלילי. מתכנס אמ”ם סדרה חסומה מלמעלה.

הערות:

מתקיים: .

מבחן ההשוואה לטורים

משפט:

אם לכל אז:

אם אז .

אם אז .

דוגמאות:

האם ?

לפי מבחן ההשוואה, כיוון ש- מתכנס, אז מתכנס, ולכן מתכנס.
מסקנה: אם , אז ולכן לפי מבחן ההשוואה, כיוון ש-, אז .

מבחן ההשוואה הגבולי לטורים

משפט:

נניח כי . לכל ונניח כי קיים במובן הרחב ונסמנו ע”י .

אם :

אם :

אם :

דוגמאות:

הראו כי :
לכל :

וגם:

לכן לפי מבחן ההשוואה הגבולי, כיוון ש- , אז .

האם מתכנס?
לכל :

וגם:

לפי מבחן ההשוואה הגבולי, כיוון ש- , אז .

מבחן המנה והשורש לטורים

הגדרה:

יהיו טור ונניח כי או קיים במובן הרחב.

אם אז מתכנס. לכן .

אם אז ולכן אינו מתכנס.

הערות:

עבור , אין מידע. כלומר, לא נוכל להסיק שום דבר על התכנסות הטור.

הוכחה:
נוכיח רק עבור מבחן השורש:

אם . תהי ו- . מתקיים:

לפי הגדרת הגבול, קיים כך שכאשר אז:

ולכן .
כיוון ש- , אז מתכנס (ראו דוגמה ראשונה לאחר הגדרת טור מספרים), ולכן ממבחן ההשוואה נובע כי מתכנס ולכן מתכנס .
2. ההוכחה עבור דומה, בחירת ה- וה- דומה.
דוגמאות:
1. האם מתכנס?
  פתרון:
  ניעזר במבחן המנה:

תרגילים:

קבעו אם מתכנס או מתבדר:

פתרון: $Missing \begin{aligned} or extra \end{aligned}\end{aligned}$$ לכל $n$, ולכן, לפי מבחן ההשוואה: $$\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}}<\infty \implies \sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}+n+1}<\infty $$$
קבעו אם מתכנס או מתבדר:

פתרון:
אינטואיטיבית, ליד :

לכן:

אז נוכיח:

נבחר ולכן:

ולכן לפי סעיף א’, ומבחן ההשוואה הגבולי, .
3. קבעו:

נשים לב כי זהו טור אי שלילי. אם נפתח טיילור, נשים לב כי אינטואיטיבית:

אז נראה כי:

4. קבעו:

פתרון:
מדובר בטור חיובי (החל ממקום מסוים). נסתכל על:

אז מתקיים לפי מבחן השורש:

ואז הטור מתכנס. אחרת, הטור מתבדר.
אם , המשפט לא נותן מידע.

מבחן האינטגרל

האם האינטגרל הבא מתכנס:

משפט:

תהי אי שלילית כאשר מונוטונית יורדת ל-. אז:

אז נחזור לטור:
תהי . היא מונוטונית יורדת לאפס ואי שלילית. עבור , מתכנס אמ”ם מתכנס.

והאינטגרל שקיבלנו מתבדר. לכן גם מתבדר (לפי מבחן האינטגרל).

דוגמאות:

נסתכל על .
אם , אז אינו מתכנס ל-. לכן .
אם , אז מונוטונית יורדת כי . קיבלנו:

וזה מתקיים אמ”ם (לפי האינטגרל המיוחד).

הערות:

נסתכל על :

$Missing \begin{aligned} or extra \end{aligned}\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n}= \underbrace{ 1 }_{ \geq \frac{1}{2} }+\underbrace{ \frac{1}{2} }_{ \geq \frac{1}{2} }+\underbrace{ \frac{1}{3}+\frac{1}{4} }_{ \geq \frac{1}{2} }+\underbrace{ \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8} }_{ \geq \frac{1}{2} }+\dots \end{aligned} $$ ולכן $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=\infty$.$

הוכחה:
center

לכל טבעי, מתקיים כי לכל מתקיים כי מונוטונית יורדת ב- ובפרט בקטע . לכן, ממונוטוניות האינטגרל המסוים:

יהי טבעי:

Misplaced &\underbrace{ f(2)+f(3)+\dots +f(n) }_{ \sum_{k=2}^{n} f(k) } &\leq \int_{1}^{n} f(x) \, \mathrm{d}x \\ &=\int_{1}^{2} f(x) \, \mathrm{d}x +\int_{2}^{3} f(x) \, \mathrm{d}x +\dots + \int_{n-1}^{n} f(x) \, \mathrm{d}x \\ & \leq \underbrace{ f(1)+f(2)+\dots + f(n-1) }_{ \sum_{n=1}^{n-1} f(k) } \end{aligned}$$ - בכיוון $\impliedby$: נניח כי $\int_{1}^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}x <\infty$. אז, לכל $1\leq b$: $$\int_{1}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \leq \int_{1}^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}x $$ לכל $n\geq 1$: $$\begin{aligned} S_{n}=\sum_{n=1}^{n} f(k)=f(1)+ \sum_{k=1}^{n} f(k)\leq f(1)+\int_{1}^{n} f(x) \, \mathrm{d}x \leq f(1) + \int_{1}^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}x \end{aligned}$$ לכן סדרת הסכומים החלקיים חסומה מלמעלה, למשעל ע"י $f(1)+\int_{1}^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}x$ ולכן $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$ מתכנסת. - בכיוון $\implies$: נניח כי $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)<\infty$. אז לכל $k$, $\sum_{n=1}^{k}f(n)\leq \sum_{n=1}^{\infty}f(n)$. לכל $b\geq 1$: $$\begin{aligned}\int_{1}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x &\leq \int_{1}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x + \int_{b}^{[b]+1} f(x) \, \mathrm{d}x \\ &\leq \int_{1}^{[b]+1} f(x) \, \mathrm{d}x \leq \sum_{k=1}^{[b]} f(k) \\ &=\sum_{n=1}^{[b]}f(k) \\ &\leq \sum_{k=1}^{\infty }f(k) \end{aligned}$$ ולכן $F(b)=\int_{1}^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}x$ חסומה מלמעלה ב-$[1,\infty)$ ולכן $\int_{1}^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}x<\infty$. $\blacksquare$ ### משפט לייבניץ >[!def] הגדרה: > > טור מהצורה: > $$\sum_{}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}$$ > > כאשר $a_{n}\geq 0$, מונוטונית יורדת לאפס, נקרא **טור לייבניץ**. >[!theorem] משפט: > >טור לייבניץ מתכנס. בנוסף, לכל ${n}_{0}\geq0$: $$\left| \sum_{{n}_{0}+1}^{\infty } (-1)^{n+1}a_{n} \right|=\left| \sum_{n={n}_{0}+1}^{\infty } (-1)^{n}a_{n} \right|\leq a_{{n}_{0}}+1$$ לפי אדיטיביות: $$\sum_{n=1}^{\infty } (-1)^{n+1}a_{n}=\sum_{n=1}^{{n}_{0}} (-1)^{n+1}a_{n}+\sum_{n={n}_{0}+1}^{\infty } (-1)^{n+1}a_{n}$$ ועבור ${n}_{0}=0$: $$\left| \sum_{n=1}^{\infty } (-1)^{n+1}a_{n} \right|\leq {a}_{1}$$ **הוכחה:** נשתמש ללא הוכחה בעובדה שאם $\{ b_{n} \}_{n=1}^{\infty}$ סדרה ו-: $$b_{2n}\xrightarrow[ n \to \infty]{}L \xleftarrow[ n \to \infty]{}b_{2n-1}$$ אז גם $b_{n}\xrightarrow[ n \to \infty]{}L$. $(1)$ נסתכל על $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}a_{k}$: $$\begin{aligned} S_{2n}&=a_{1}-a_{2}+a_{3}+\dots +a_{2n-1}-a_{2n} \\ &=\underbrace{ ({a}_{1}-{a}_{2}) }_{ \geq 0 }+\underbrace{ ({a}_{3}-{a}_{4}) }_{ \geq 0 }+\dots +\underbrace{ ({a}_{2n-1}-a_{2n}) }_{ \geq 0 }\geq 0 \\ S_{2(n+1)}&=\underbrace{ ({a}_{1}-{a}_{2}+{a}_{3}-{a}_{4}+\dots +a_{2n-1}-a_{2n}) }_{ S_{n} }+\underbrace{ (a_{2n+1}-a_{2n+2}) }_{\geq 0 } \\ &\geq S_{2n} \end{aligned}$$ לכן $\{ S_{2n} \}_{n=1}^{\infty}$ סדרה עולה. נמשיך עם $S_{2n-1}$: $$\begin{aligned} S_{2n-1}&={a}_{1}-{a}_{2}+{a}_{3}-{a}_{4}+{a}_{5}-\dots -a_{2n-2}+a_{2n-1} \\ &={a}_{1}-\underbrace{ ({a}_{2}-{a}_{3}) }_{ \geq 0 }-\underbrace{ (a_{4}-{a}_{5}) }_{ \geq 0 }-\dots -({a}_{2n-2}-a_{2n-1})\leq {a}_{1} \\ S_{2(n+1)-1}&=\underbrace{ ({a}_{1}-{a}_{2}+\dots -a_{2n-2}+a_{2n-1}) }_{ S_{2n-1} }-\underbrace{ (a_{2n}-a_{2n+1}) }_{ \geq 0 }\leq S_{2n-1} \end{aligned}$$ מתקיים: $$0\leq S_{2n}=S_{2n-1}-\underbrace{ a_{2n} }_{ \geq 0 }\leq S_{2n-1}\leq a_{1}$$ קיבלנו כי $S_{2n}$ עולה וחסומה מלמעלה ולכן מתכנסת ל-${L}_{1}$. בנוסף, $S_{2n-1}$ יורדת וחסומה מלמטה ולכן מתכנסת ל-${L}_{2}$ (לפי גבול סדרה מונוטונית). לסיכום: $${L}_{1}\xleftarrow[ n \to \infty]{}S_{2n}=S_{2n-1}-a_{2n}\xrightarrow[ n \to \infty]{}{L}_{2}-0={L}_{2}$$ ולכן מתכונות הסדר של גבולות: $$0\leq {L}_{1}\underbrace{ = }_{ (1) }L=\sum_{n=1}^{\infty } (-1)^{n+1}a_{n}=L_{2}\leq {a}_{1}$$ $\blacksquare$ >[!example] דוגמאות: > >1. הטור $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n+1}}{n^{p}}$ מתכנס אמ"ם $p>0$: > עבור $p\leq 0$, $\frac{(-1)^{n+1}}{p}$ אינו מתכנס ל-$0$, ולכן הטור אינו מתכנס. עבור $p>0$: > הסדרה $\frac{1}{n^{p}}$ סדרה יורדת שמתכנסת ל-$0$ ולכן $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{p}}$ מתכנסת לפי משפט ליינבניץ. > 2. הטור $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{p}}$ מתכנס בהחלט אמ"ם $\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n+1}}{n^{p}} \right|$ מתכנס $\iff$ $p>1$. > 3. הטור $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{p}}$ מתכנס בתנאי $\iff$ $0<p\leq 1$. **תרגילים:** 1. האם הטור $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{2n^{5/2}-n+3}$ מתכנס? **פתרון**: נשים לב כי זהו טור אי שלילי. בנוסף: $$\begin{aligned} \frac{n+1}{2n^{5/2} -n +3}&=\frac{n\left( 1+\frac{1}{n} \right)}{n^{5/2}\left( 2-\frac{1}{n^{3/2}}+\frac{3}{n^{5/2}} \right)}=\frac{1}{n^{3/2}}\cdot \left( \frac{1+\frac{1}{n}}{2-\frac{1}{n^{3/2}}+\frac{3}{n^{5/2}}} \right) \\ \end{aligned}$$ לכן: $$\frac{\frac{n+1}{2n^{5/2}-n+3}}{\frac{1}{n^{3/2}}}=\frac{1+\frac{1}{n}}{2-\frac{1}{n^{3/2}}+\frac{3}{n^{5/2}}}\xrightarrow[n\to \infty ]{} \frac{1}{2}= L$$ אז, לפי מבחן ההשוואה הגבולי, כיוון ש-$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}<\infty$, אז $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{2n^{5/2}-n+3}<\infty$. 2. עבור אלו ערכי $p$ הטור $\sum_{n=1}^{\infty}(e^{1/n^{p}}-1)$ מתכנס? **פתרון**: עבור $p\leq 0$ הסדרה $e^{1/n^{p}}-1$ אינה שואפת לאפס ולכן הטור לא מתכנס. עבור $p>0$: $$0\neq \frac{1}{n^{p}}\xrightarrow[ n \to \infty]{}0$$ נביט בפונקציה: $$f(x)=e^{x}-1$$ ונשים לב כי טיילור שלה: $$e^{x}-1=x+\frac{x^{2}}{2!}+R_{2}(x)=x\left( 1+\frac{x}{2}+\frac{R_{2}(x)}{x} \right)$$ ומכך נסיק כי $e^{x}-1\sim x$ בסביבה של $0$. אז ננסה: $$\lim_{ x \to 0 } \frac{e^{x}-1}{x}\underbrace{ = }_{ \text{L'Hoptial} }=\lim_{ x \to 0 } \frac{e^{x}}{1}=e^{0}=1=L$$ ולכן, לפי היינה, עבור $0\neq \frac{1}{n^{p}}\xrightarrow[ n \to \infty]{}0$ מתקיים: $$\frac{e^{1/n^{p}}-1}{\left( \frac{1}{n^{p}} \right)}\xrightarrow[ n \to \infty]{}1$$ בנוסף, $e^{1/n^{p}}-1, \frac{1}{n^{p}}$ הם טורים אי שליליים, ולכן, לפי [[#מבחן-ההשוואה-הגבולי-לטורים|מבחן ההשוואה הגבולי לטורים]]: $$\sum_{n=1}^{\infty } (e^{1/n^{p}}-1)<\infty \iff \sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{p}}<\infty \iff p>1$$ **תרגילים:** 1. הוכח הפרח: - אם $\sum_{}^{\infty }a_{n}^{2}$ מתכנס $\impliedby$ $\sum_{}^{\infty}a_{n}$ מתכנס. **פתרון**: לא נכון. למשל: $$a_{n}=\frac{1}{n}$$ מתקיים $\sum_{}^{\infty }a_{n}^{2}=\sum_{}^{\infty } \frac{1}{n^{2}}$ מתכנס אבל $\sum_{}^{\infty}a_{n}=\sum_{}^{\infty } \frac{1}{n}$ מתבדר. - אם $\sum_{}^{\infty}a_{n}$ מתכנס $\impliedby$ $\sum_{}^{\infty}a_{n}^{2}$ מתכנס. **פתרון**: לא נכון. למשל: $$a_{n}=(-1)^{n}\cdot \frac{1}{\sqrt{ n }}$$ מתקיים $\sum_{}^{\infty}a_{n}=\sum_{}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{\sqrt{ n }}$ מתכנס כי לייבניץ, אבל, $\sum_{}^{\infty}a_{n}^{2}=\sum_{}^{\infty} \frac{1}{n}$ מתבדר. - אם $\sum^{\infty}_{}a_{n}$ מתכנס ו- $a_{n}$ חיובית $\impliedby$ $\sum^{\infty}_{}a_{n}^{2}$ מתכנס. **פתרון**: נכון. כיוון ש-$\sum^{\infty}_{}a_{n}$ מתכנס, נוכל להסיק כי $a_{n}\xrightarrow[n\to \infty]{}0$. נתון גם כי $a_{n}$ חיובית, ולכן החל ממקום מסוים $0<a_{n}<1$ (לפי הגדרת הגבול). לכן, החל ממקום מסוים: $$a_{n}^{2}\leq a_{n}$$ ולכן: $$\sum^{\infty}_{} a_{n}^{2}\leq \sum^{\infty}_{} a_{n}$$ לפי מבחן ההשוואה לטורים אי שליליים $\sum^{\infty}_{}a_{n}^{2}$ מתכנס. **תרגילים:** 1. האם הטורים הבאים מתכנסים? - הטור: $$\sum_{}^{\infty } \frac{\frac{\pi}{2}-\arctan n}{n}$$ **פתרון**: אינטואיטיבית, $\frac{\pi}{2}-\arctan(n)\sim \frac{1}{n}$ ולכן: $$\frac{\frac{\pi}{2}-\arctan n}{n}\sim \frac{\frac{1}{n}}{n}=\frac{1}{n^{2}}$$ ולכן הטור מתכנס.

פנגייה

CAL1_010 טורי מספרים

טורי מספרים

טור מספרים

סכום של טור הנדסי

אם הטור מתכנס אז הסדרה שואפת לאפס

תכונות בסיסיות של טורי מספרים

טורים אי שליליים

תנאי התכנסות טור

מבחן ההשוואה לטורים

מבחן ההשוואה הגבולי לטורים

מבחן המנה והשורש לטורים

מבחן האינטגרל

תוכן עניינים