CAL1_009 אינטגרל מוכלל

האינטגרל המוכלל

אינטגרל מוכלל

נרצה להגדיר שטח גרף של פונקציה המוגדרת בקרן לבין ציר :

הגדרה:

נניח כי מוגדרת בקרן , ואינטגרבילית בכל תת קטע חסום וסגור של (בפרט בכל קטע חסום וסוגר מהצורה ).
נאמר כי האינטגרל המוכלל של ב- מתכנס אם:

קיים ובמקרה זה נסמנו ע”י:

דוגמאות:

1. עבור:

2. עבור:

וגבול זה אינו קיים.

הערות:

כאשר הגבול הנ”ל אינו קיים, נאמר כי האינטגרל המוכלל אינו מתכנס, או כי הוא מתבדר.

הגדרה:

תהי מוגדרת בקטע חסום . ואינטגרבילית. בכל תת קטע חסום וסגור של נאמר כי האינטגרל המוכלל של ב- מתכנס אם:

גבול זה קיים. במקרה זה נסמנו ע”י:

מה עושים כאשר יש מספר סופי של “בעיות”?

האינטגרל המוכלל מתכנס בדיוק כאשר כל אחד מהמחוברים בצד ימין מתכנס. אין התקזזויות. ברגע שלפחות אחד מהמחוברים מתבדר, האינטגרל המוכלל המקורי מתבדר.

דוגמאות:

1. עבור:

ולכן לא קיים

תרגיל:

1. חשבו:
2. חשבו: גבול זה לא קיים, ולכן נאמר כי האינטגרל המוכלל מתבדר.
3. חשבו:
4. חשבו:

תכונות האינטגרל המוכלל

משפט:

1. לינאריות: אם מתכנסים, אז:

2. אדיטיביות: ניסוח עבור “בעיה” אחת :
   האינטגרל מתכנס לכל מתכנס קיים עבורו מתכנס.
   במקרה זה, אז לכל מתקיים:

3. מונוטוניות: אם לכל (בעייה אחת שהיא וגם מתכנסים, אז:

4. אי שוויון המשולש: אם מתכנס, אז:

התכנסות של אינטגרל מוכלל

נעסוק כעת בשאלה מתי אינטגרל מוכלל מתכנס, ולא בהכרח בחישובו.

נניח כי לכל וגם אינטגרבילית בכל תת קטע חסום וסגור של . נרצה לדעת מתי מתכנס. כלומר מתי:

קיים (וסופי).
נסמן . אם אז:

שנותן כי . לכן מונוטונית עולה ב-. כך שהגבול קיים במובן הרחב, ובנוסף הוא קיים (סופי) אמ”ם חסומה מלמעלה ב-.

מה קורה ב-? נסמן .
נרצה לדעת מתי הגבול הבא קיים (סופי):

אז אם :

קיבלנו ולכן יורדת.

משפט:

תהי פונקצייה אי שלילית ב- ואינטגרבילית בכל תת-קטע חסום וסגור שלו.
אז:

• האינטגרל המוכלל מתכנס אמ”ם חסום מלמעלה ב- (כלומר כאשר ).
• האינטגרל המוכלל מתכנס אמ”ם חסום מלמעלה ב-.
• האינטגרל המוכלל מתכנס אמ”ם חסום מלמעלה ב-.
• האינטגרל המוכלל מתכנס אמ”ם חסום מלמעלה ב-.

הערות:

עבור אינטגרל מוכלל של פונקציות אי-שלילית, נסמן:

• עבור התכנסות - .
• עבור התבדרות .

מבחן ההשוואה לאינטגרל מוכלל

משפט:

יהיו אי שליליות, ו- לכל בקטע .

• אם מתכנס, אז מתכנס.
• אם מתבדר, אז מתבדר.

אם מדובר בקטע אז:

• אם מתכנס אז מתכנס.
• אם מתבדר אז מתבדר.

אם מדובר בקטע אז:

• אם מתכנס אז מתכנס.
• אם מתבדר אז מתבדר.

הוכחה:
נוכיח עבור הקטע . לפי אדיטיביות האינטגרל המוכלל, לכל מתקיים:

הפונקציה אי שלילית ולכן , וגם לפי הנתון, מתכנס. מכך נסיק כי:

ולכן לכל :

כאשר ב- המעבר מתקיים לפי מונוטוניות.
ולכן חסום מלמעלה בקטע ולכן מתכנס.

אינטגרלים מיוחדים

משפט:

עבור האינטגרל:

ועבור:

הוכחה:
נוכיח רק עבור .

תרגילים:

1. האם מתכנס?
   נרצה להראות ש- מתבדר. נשים לב כי מדובר בפונקציה אי שלילית (). נמצא פונקציה שיותר קטנה ממנה (ב-), ואז נוכל להתשמש במבחן ההשוואה. האינטגרל מתבדר כי . לכן לפי מבחן ההשוואה, גם מתבדר.
2. האם מתכנס?
   מדובר בפונקציה אי שלילית (). בנוסף: לכן לפי מבחן ההשוואה:
   מתקיים מתכנס.

מבחן השוואה גבולי לאינטגרל מוכלל

משפט:

תהנה אי שליליות בקטע ואינטגרביליות בכל תת קטע חסום וסגור בו.
אם הגבול הבא מתקיים במובן הרחב:

ו-:

1. אם :

2. אם :

3. אם , אז:

הוכחה:
נוכיח למקרה של :
אם , :
עבור , קיים כך שכאשר אז:

ולכן:

• בכיוון : כיוון ש-, אז לפי אדיטיביות, . לכן לפי לינאריות .
  לכן, כיוון ש- לכל אז לפי מבחן ההשוואה נובע כי , ולבסוף, מאדיטיביות נובע כי מתכנס.
• בכיוון באותו אופן רק הפוך :).

דוגמאות:

1. האם מתכנס?
   פתרון:
   מתקיים לכל ולכן:

ולכן, כיוון ש- , אז לפי מבחן ההשוואה הגבולי, .

תרגילים:

1. בדקו התכנסות: מדובר בפונקציה אי שלילית (), האינטגרל מוכלל, כי לא חסומה ב-.
   נרצה למצוא להשוואה רק ש: למציאת : (טיילור). לכן: כלומר: אז נבחר , ונבדוק: גבול זה קיים וסופי בין ל-.
   לכן לפי משפט השוואה גבולי לפונקציה אי שלילית, מתכנס אמ”ם מתכנס. אבל מתבדר ולכן מתבדר.
2. האם מתכנס?
   כאשר : ולכן: הביטוי שקיבלנו בסוף מתבדר, ולכן האינטגרל המוכלל היותר כללי, גם מתבדר.

דוגמאות:

1. האם מתכנס?
   פתרון:
   מתקיים לכל . לכן נחפש כך ש:

ננסה , כי זוהי פונקציה שגם שואפת ל- ודומה מספיק ל- כך שהחילוק מבטל גורמים “לא נעימים”:

ולכן לפי מבחן ההשוואה הגבולי, כיוון ש- אז .

התכנסות בהחלט והתכנסות בתנאי

משפט:

אם אז .

רעיון ההוכחה:

מתקיים:

ומתקיים:

ולכן לפי מבחן ההשוואה:

ולכן מתכנס.

דוגמה שההפך לא מתקיים:

דוגמאות:

1. האינטגרל מתכנס, אבל לא מתכנס.

הערות:

אי שוויון המשולש עבור אינטרלים מוכללים:

התכנסות בהחלט ובתנאי

הגדרה:

נאמר כי אינטגרל מוכלל מתכנס בהחלט אם (ואז לפי המשפט הקודם מתכנס).
נאמר כי מתכנס בתנאי אם אבל .

דוגמאות:

1. האם מתכנס?
   נסתכל על:

ומתקיים מתכנס, ולכן לפי מבחן ההשוואה הגבולי לפונקציות אי שליליות, גם מתכנס, וכיוון שהתכנסות בהחלט גוררת התנסות, אז גם מתכנס.

טיפים אינטואיטיביים

הטיפים הבאים מציגים דרך מהירה למצוא פונקציה או טור להשוואה מול אינטגרל או טור שרוצים לבדוק התכנסות שלו.

1. בסביבת : ולכן:
2. בסביבת : ולכן:
3. נשים לב כי שואף ל- ממש לאט. למשל, מתקיים: למעשה, ניתן להוכיח כי:
4. בסביבת : כי .
   לכן:
5. בסביבת : ולכן:

תרגילים:

1. האם האינטגרלים הבאים מתכנסים?
   • האינטגרל פתרון:
     אינטואיטיבית, ליד , ולכן ב-. ולכן: ולכן האינטגרל מתכנס.
     • האינטגרל
     אינטואיטיבית, (בסביבה של ). בנוסף, (בסביבה של ). ולכן: ולכן מתכנס.