CAL1_003 גבולות של סדרות

סדרות

סדרה

הגדרה:

סדרה היא רשימה מסודרת של מספרים כך שיש מספר ראשון, מספר שני וכו’ - הרשימה אינסופית.
קבוצת אינדקסים היא קבוצה של מספרים שלמים שיש בה איבר מינימלי וכך שאם נמצא בקבוצה, אז נמצא בקבוצה גם הוא. לרוב, תשמש כקבוצת האינדקסים.
בהינתן קבוצת אינקסים כאשר הוא האינדקס המינימלי, סדרה היא רשימה של מספרים התלויים באינדקסים. סימון: .

הערות:

1. כל ההגדרות של מונוטוניות, חסימות, מקסימום, סופרמום עבור פונקציות וקבוצות, קיימות גם עבור סדרות.

סדרה חשבונית

הגדרה:

סדרה של מספרים, שבה ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע:

נקראת סדרה חשבונית. האיבר ה- בסדרה נתון ע”י הנוסחא:

סכום סדרה חשבונית

משפט:

תהי סדרה חשבונית, עם הפרש . אזי סכום הסדרה נתון ע”י הנוסחא הבאה:

סדרה הנדסית

הגדרה:

סדרה של מספרים כאשר היחס בין כל שני איברים סמוכים הוא קבוע:

נקראת סדרה הנדסית. הקבוע נקרא גם מנת הסדרה.
האיבר ה- בסדרה נתון ע”י הנוסחא:

סכום של סדרה הנדסית

משפט:

תהי סדרה הנדסית עם מנה . אזי סכום הסדרה נתון ע”י הנוסחא הבאה:

גבולות של סדרות

גבול של סדרה

הגדרה:

תהי ויהי מספר. נאמר כי הוא הגבול של הסדרה אם לכל קיים כך שאם אז .
נאמר כי הוא הגבול של הסדרה אם לכל קיים כך שאם אז ( במקרה של ).

משפטי גבולות של סדרות

המשפטים הבאים הם אנלוגיים למשפטים של גבולות של פונקציות:

משפט:

1. יחידות הגבול.
2. התכנסות גוררת חסימות.
3. תכונות הסדר של גבולות.
4. משפט הסנדוויץ’ (והפיצה)

מבחן השורש והמנה

משפט:

אם או קיים במובן הרחב אז:

1. אם .
2. אם .

הערות:

1. נשים לב כי אם , זה לא אומר שהגבול לא קיים. זה פשוט אומר שמבחן המנה לא עוזר לנו לפתור את הגבול, ועלינו למצוא שיטה שונה לפתירת הבעיה.

משפט היינה

משפט:

תהי מוגדרת בסביבה מנוקבת של . יהי מספר. אזי, אמ”ם לכל סדרה המקיימת מתקיים כי .

דוגמאות:

1. הגבול לא קיים.
   אם נבחר וגם , אז מתקיים:

ולכן לפי היינה, אינו מתקיים.

תרגילים:

1. הוכיחו כי הגבול לא קיים, כאשר: נביט בסדרות: אזי, כיוון ש- תמיד רציונאלית, ו- תמיד אי רציונלית קיבלנו גבולות שונים ולכן לפי היינה הגבול לא קיים.
   
2. חשבו את הגבול הבא: לפי משפט מתקיים: לכן לפי היינה לכל סדרה מתקיים: בפרט, עבור מתקיים:

הגבול המיוחד

משפט:

הסדרה היא סדרה עולה וחסומה המקיימת לכל , ולכן היא סדרה מתכנסת.

הגדרה:

הגבול של הסדרה מסומן ע”י :

הערות:

1. אפשר להראות כי:

ולכן לפי היינה, אם אז ,
וגם אם אז .

דוגמאות:

1. חשבו את הגבול:

פתרון:

מתקיים ולכן:

בנוסף, . ולכן:

תתי סדרות

כאשר אנו לוקחים “חלק” מהסדרה (כמות אינסופיות של איברים, אבל לא כולם), נקרא לסדרה החדשה תת סדרה.

תת סדרה

הגדרה:

תהי סדרה. בהינתן סדרה עולה ממש של אינדקסים , הסדרה היא תת סדרה של .

התכנסות סדרה גורר התכנסות כל תת סדרה שלה

משפט:

אם מתכנסת במובן הרחב, אז כל תת סדרה שלה מתכנסת במובן הרחב לאותו הגבול.

מסקנה:

אם ל- יש 2 תתי סדרות המתכנסות במובן הרחב לגבולות שונים, אז אינה מתכנסת במובן הרחב.

גבול חלקי

הגדרה:

תהי סדרה ויהי מספר. נאמר כי הוא גבול חלקי של אם קיימת תת סדרה המתכנסת ל-.
נאמר כי גבול חלקי במובן הרחב אם קיימת תת סדרה המתכנסת ל-. נאמר כי ל- יש גבול חלקי במובן הרחב אם יש לו תת סדרה המתכנסת במובן הרחב.

תרגילים: הוכח/הפרך:

1. אם האם סדרה מתכנסת?
   הטענה שגויה. למשל: אכן מתקיים אבל מתבדרת, כי יש לה שני גבולות חלקיים ב-.
2. אם מתכנסת, האם מתכנסת ל-?
   הטענה הנכונה. נניח . לכן: ולפי אריתמטיקה של גבולות:
3. אם מתכנסת ל-, האם מתכנסת?
   הטענה שגויה. למשל: אזי מתקיים: כלומר, אבל מתבדרת.
4. אם מתכנסת ל-, האם מתכנסת?
   הטענה שגויה. למשל: אזי מתקיים: כלומר, אבל מתבדרת.