CAL1_002 גבול של פונקציה

הגדרת גבול של פונקציה

גבול של פונקציה בנקודה

הגדרה:

תהי פונקציה המוגדרת סביבה מנוקבת של , ויהי מספר. נאמר של- יש גבול בנקודה , וערכו , אם לכל , קיים כך שלכל המקיים מתקיים .

תגובה

נסמן זאת:

או:

נאמר גם כי שואף ל- כאשר שואף ל-.

תרגילים:

1. הוכיחו לפי הגדרה כי: פתרון:
   אנו צריכים להראות כי לכל , קיים כך שכאשר אז .
   יהי .
   נפתח את הביטוי: מתי ? אמ”ם: אז אם נבחר (שהוא אכן מקיים ), אז לכל המקיים אז ולכן:

נעבור להגדרה יותר מורחבת של גבול:

גבול של פונקציה

הגדרה:

נאמר כי אם לכל קיים כך שכאשר אז .
נשים לב שאלו 9 הגדרות! לכל אפשרות ורודה יש 3 אפשרויות כתומות.

יחידות הגבול

משפט:

אם וגם אז .

קיום גבול

הגדרה:

נאמר כי גבול קיים במובן הרחב אם הגבול סופי, אינסוף, או מינוס אינסוף. נאמר כי הגבול קיים אם הגבול רק סופי.
לכן, אם אנו אומרים כי גבול אינו קיים, אז או שהוא אינסוף, או שהוא מינוס אינסוף, או שהוא לא סופי ולא אינסופי.
אם אנו אומרים שהגבול אינו קיים במובן הרחב, אז אין גבול סופי או אינסופי.

גבולות חד צדדיים

הגדרה:

תהי מוגדרת בסביבה ימנית מנוקבת של , ויהי מספר. נאמר כי הוא הגבול של ב- מימין, אם לכל קיים כך שאם אז . נסמן .
נאמר כי הוא הגבול של משמאל, אם לכל קיים כך שאם אז . נסמן .

משפטי גבולות

גבולות חד צדדיים שווים אמ”ם הגבול קיים

הגבול קיים אמ”ם קיים במובן הרחב וגם קיים במובן הרחב ושניהם שווים.

התכנסות גוררת חסימות

משפט:

אם קיים (סופי), אז קיימת ו- כך שכאשר אז , כלומר קיימת סביבה שבה חסומה.

הערות:

כל אחד מהמשפטים הבאים נתון עבור גבולות מהצורה , אבל האנלוג שלו בגבולות מההסוגים השונים גם נכון.

תכונות הסדר של גבולות

משפט:

נניח כי ו-.

1. אם אז קיים כך שכאשר אז .
2. אם קיים כך שכאשר אז , אז .

גבול של ערך מוחלט

משפט:

משפט הסנדוויץ’ (והפיצה)

משפט:

נניח כי בסביבה מנוקבת של , מתקיים ונניח כי . אזי, קיים ושווה l- ().
עבור גבולות במובן הרחב:
נניח כי בסביבה מנוקבת של . אם , אז .

אריתמטיקה של גבולות

פעולות על גבולות

משפט:

נניח כי , אז:

גבול אפס כפול חסומה

משפט:

אם הגבול וגם חסומה בסביבה מנוקבת של אז .

גבול של הרכבה

משפט:

נניח כי וגם קיים כך שכאשר אז . בנוסף, נניח כי . אז .

משפט שקול:

משפט:

נניח כי ונניח כי . אז .

דוגמאות:

1. עבור:

נסמן . מתקיים:

אזי:

נשים לב כי אנו דורשים גם במשפט המקורי וגם השקול שני דברים שהם לא בהכרח מובנים מדוע אנו דורשים אותם:
דוגמה על חשיבות הסעיף שבו , או במשפט המקורי, החלק בו אנו דורשים בסביבה מנוקבת של :

דוגמאות:

1. תהי ו-. אזי מתקיים:

אבל:

הגבול המיוחד

משפט:

הערות:

1. ניתן להסיק מכך שבסביבה של , הפונקציה מאוד דומה ל-. כלומר, אינטואיטיבית, ניתן לומר כי ליד .

גבולות של פונקציות מונוטוניות

גבול של פונקציה מונוטונית

משפט:

תהי פונקציה מונוטונית עולה בקטע .

1. אם חסומה מלמעלה ב- אז קיים ושווה ל-.
2. אם אינה חסומה מלמעלה ב- אז .

הערות:

המשפט דומה עבור פונקציה מונוטונית יורדת וחסומה מלמטה.

נקודה בקטע מונוטוני

משפט:

תהי עולה בקטע .

1. אם נקודה פנימית של אז:

2. אם היא נקודת הקצה הימני של אז:

אם היא נקודת הקצה השמאלי של , אז:

הערות:

המשפט דומה עבור פונקציה מונוטונית יורדת בקטע .