ALG1_005 מרחבים וקטוריים

מרחבים וקטוריים

מרחב וקטורי

הגדרה:

תהי קבוצה ויהי שדה. נגדיר פעולת חיבור בין איברי ופעולת כפל בסקלר בין איבר לאיבר מ-.
הקבוצה נקראת מרחב וקטורי (מ”ו) מעל השדה , ואיברי נקראים וקטורים אם לכל ולכל מתקיימות כל 10 התכונות הבאות:

1. סגירות לחיבור, .
2. אסוציאטיביות בחיבור, .
3. קומוטטיביות בחיבור, .
4. קיים ב- איבר אדיש לחיבור המסומן , ומקיים .
5. קיים ב- איבר נגדי המסומן ומקיים .
6. סגירות לכפל בסקלר, .
9. עבור מתקיים .

תכונות המרחב הוקטורי

משפט:

יהי מ”ו מעל שדה . אזי:

1. האדיש לחיבור ב- הוא יחיד.
2. הנגדי של ב- הוא יחיד.
3. לכל מתקיים .
4. לכל מתקיים .
5. מתקיים אמ”ם או .

תת מרחב וקטורי

הגדרה:

יהי מרחב וקטורי מעל לשדה , ותהי תת קבוצה של . נקראת תת מרחב וקטור (תמ”ו) של , אם מרחב וקטורי בפני עצמו עם אותן פעולות ומעל אותו שדה.

בדיקת ת”מ

משפט:

יהי מרחב וקטורי מעל לשדה , ותהי תת קבוצה של . הוא תמ”ו של , אמ”ם מקיים את 3 התכונות הבאות:

1. הקבוצה היא לא קבוצה ריקה .
2. הקבוצה סגורה לחיבור, כלומר לכל גם .
3. הקבוצה סגורה לכפל בסקלר, כלומר לכל ולכל גם .

הערות:

1. ניתן גם לרשום את 1 ו-2 כתכונה אחת ארוכה:
   לכל ולכל גם .

פתרון ממ”ל הומוגנית הוא תמ”ו

משפט:

תהי מטריצה מעל שדה , ונביט על הממ”ל ההומוגנית . אזי אוסף הפתרונות של ממ”ל זו מהווה תמ”ו.

פעולות בין ת”מ

הגדרה:

יהי מרחב וקטורי מעל לשדה , יהיו שני ת”מ של .

• החיתוך בין שני ת”מ הוא אוסף כל הווקטורים ב- הנמצאים גם ב- וגם ב-.
  • האיחוד בין שני ת”מ הוא אוסף כל הווקטורים ב- הנמצאים ב- או ב-.
  • ההפרש בין ל- הוא אוסף כל הווקטורים ב- הנמצאים ב- אבל לא ב-.
  • הסכום של שני ת”מ הוא אוסף כל הווקטורים ב- שניתנים לכתיבה כסכום של איבר ב- ואיבר ב-.

חיתוך וסכום של ת”מ הם גם ת”מ

משפט:

יהי מרחב וקטורי מעל לשדה , יהיו שני ת”מ של . אזי:

1. החיתוך הוא ת”מ של .
2. הסכום הוא ת”מ של .

איחוד ת”מ הוא ת”מ אמ”ם אחד מוכל בשני

משפט:

יהי מ”ו מעל לשדה , ויהיו שני ת”מ של . אזי, הוא ת”מ של אמ”ם או .

הפרש בין ת”מ הוא לא ת”מ

משפט:

יהי מרחב וקטורי מעל לשדה , ויהי ת”מ לא טריוויאלי של . אזי הוא לא ת”מ של .

סכום ישר

הגדרה:

יהי מרחב וקטורי מעל לשדה , יהיו שני ת”מ של . מרחב הסכום בין שני ת”מ נקרא סכום ישר ומסומן אם כל וקטור ניתן לכתיבה באופן יחיד כסכום של איבר מ- ואיבר מ-.

הערות:

1. סכום ישר הוא תכונה של הסכום.

דוגמאות:

1. ניקח מעל .

ניקח וקטור בסכום וננסה לכתוב אותו בדרכים שונות.

קיבלנו אינסוף דרכים לכתוב את אותו הוקטור ולכן הסכום אינו ישר.

סכום הוא סכום ישר אמ”ם חיתוך הת”מ הוא רק וקטור האפס

משפט:

יהי מרחב וקטורי מעל לשדה , יהיו שני ת”מ של . אזי, הסכום הוא סכום ישר אמ”ם .

צירוף לינארי, תלות לינארית

צירוף לינארי

הגדרה:

יהי מרחב וקטורי מעל שדה , ותהי . וקטור ב- נקרא צירוף לינארי (צ”ל) של וקטורים ב- אם קיימים סקלרים ב-, כך ש: .

הערות:

צירוף לינארי נקרא גם קומבינציה לינארית.

קבוצה פורשת

הגדרה:

יהי מ”ו מעל שדה , ותהי קבוצה של וקטורים ב-. אזי, אוסף כל הצירופים הלינאריים שניתן לקבל מהוקטורים ב- נקרא הפרוש של ’ ומסומן: . כלומר:

הקבוצה נקראת קבוצה פורשת של .

תכונות הקבוצה הפורשת

מסקנה:

יהי מ”ו מעל לשדה , ותהי קבוצה של וקטורים ב-. אזי, הוא תת מרחב של המכיל את , והוא תת המרחב המינימלי המכיל את . במילים אחרות:

1. המרחב הוא ת”מ של .
2. מתקיים .
3. אם הוא תת מרחב אחר של המכיל את , אז מכיל את (ולכן הוא תת המרחב הקטן ביותר המכיל את ).

הקטנת הקבוצה הפורשת

משפט:

יהי מרחב וקטורי מעל לשדה , ויהיו וקטורים ב-. אזי:
מתקיים אמ”ם הוא צ”ל של .

מרחב שורות ומרחב עמודות של מטריצה

הגדרה:

תהי מטריצה. נגדיר:
מרחב השורות של המטריצה הוא המרחב הנפרש ע”י שורות . מסומן: והוא תת מרחב של .
מרחב העמודות של המטריצה הוא המרחב הנפרש ע”י עמודות . מסומן: והוא ת”מ של .

הערות:

1. נבחין כי מאחר ומרחב העמודות של המטריצה שווה למרחב השורות של מטריצה אחרת , נוכיח משפטים רק עבור מרחב שורות.

למטריצות שקולות שורה אותו מרחב שורות

משפט:

למטריצות שקולות שורה אותו מרחב שורות. כלומר, אם מטריצות שקולות שורה, אז .

שורה שמתאפסת בדירוג היא צ”ל של שאר השורות

משפט:

תהי . שורה של מתאפסת בדירוג אמ”ם היא צירוף לינארי של השורות האחרות של .

תלות לינארית

הגדרה:

יהי מרחב וקטורי מעל שדה , ותהי . נאמר כי הקבוצה תלויה לינארית (ת”ל) אם קיימים סקלרים ב- לא כולם אפס כך ש: .
אם בהכרח כל הסקלרים הם , נאמר כי הקבוצה בלתי תלויה לינארית (בת”ל).

קבוצה ת”ל אמ”ם קיים וקטור אחת שהוא צ”ל של האחרים

משפט:

יהי מ”ו מעל לשדה , ותהי . הקבוצה ת”ל אמ”ם קיים וקטור ב- שהוא צירוף לינארי של הוקטורים האחרים בקבוצה.

קבוצה ת”ל אמ”ם קיים וקטור שהוא צ”ל של קודמיו

משפט:

יהי מ”ו מעל לשדה , ותהי כך ש-. אזי, הקבוצה ת”ל אמ”ם קיים וקטור ב- שהוא צירוף לינארי של קודמיו בקבוצה.

הערות:

1. ניתן גם לומר כי ת”ל אמ”ם קיים וקטור ב- שהוא צירוף לינארי של אחריו בקבוצה.

ת”ל של קבוצה עם וקטור אחד

משפט:

יהי מ”ו מעל לשדה , ותהי . אזי:

1. אם אז ת”ל.
2. אם אז בת”ל.

מסקנה:

כל תת קבוצה של מ”ו המכילה את וקטור האפס היא ת”ל.

ת”ל של קבוצה עם שני וקטורים

משפט:

יהי מ”ו מעל לשדה , ויהיו ושונים מ-. אזי תלויים לינארית אמ”ם הם פרופורציונאליים, כלומר אמ”ם קיים סקלר ב- כך ש-.

תת קבוצה של קבוצה בת”ל

משפט:

יהי מ”ו מעל לשדה .

• תהי תת קבוצה בלתי תלויה לינארית ב-. אזי, כל תת קבוצה לא ריקה של היא בת”ל.
• תהי תת קבוצה של . אם מכילה תת קבוצה ת”ל אז ת”ל.

צ”ל של ווקטורים בת”ל הוא יחיד

משפט:

יהי מ”ו מעל לשדה , ותהי תת קבוצה של . אזי: לכל , הצ”ל הוא יחיד אמ”ם בת”ל.

שורות שונות מ- במטריצה מדורגת הן בת”ל

משפט:

שורות שונות מ- במטריצה מדורגת הן בת”ל.

אלגוריתם: בדיקת תלות של וקטורים ב-

בהינתן מטריצה . נדרג את המטריצה ואז:
שורה מתאפס בדרוג,
אמ”ם יש שורה שהיא צירוף לינארי של השורות האחרות במטריצה, אמ”ם השורות של המטריצה ת”ל.

לכן, בהינתן ווקטורים, נוכל לבדוק את התלות הלינארית שלהם כך:

1. נשים את הווקטורים שורות מטריצה, ונדרג.
2. אם התאפסה שורה אז הוקטורים ת”ל. אם לא התאפסה שורה אז הוקטורים בת”ל.

---

דרגה של מטריצה - הגדרה רשמית

משפט:

תהי . הדרגה של המטריצה שווה למספר המקסימלי של שורות בת”ל של .

תרגיל:

1. הוכח/הפרך:
   נתון בת”ל, וכי כאשר . אזי בת”ל.
   הטענה נכונה. מתקיים: נבדוק האם כולם אפסים. לפי הנתון: נתון לנו כי בת”ל ולכן המקדמים חייבים להיות שווים לאפס: ולכן מתקיים: כלומר, הקבוצה בת”ל.
   

---

עמודות מכפלת מטריצות היא צ”ל של עמודות הגורם השמאלי

טענה:

יהיו מטריצות כך ש-. אזי:

1. עמודות הן צ”ל של עמודות .
2. שורות הן צ”ל של שורות .

הוכחה:

נתבונן בביטוי הבא:

ניתן לראות כי עמודות מטריצה הן צ”ל של עמודות מטריצה , כאשר הם המקדמים.

למעשה, עבור כל שתי מטריצות שמכפלתן מוגדרת, (ונסמן את כמכפלתן: ), אזי עמודות המכפלה הן צ”ל של עמודות .

ניתן להבין זאת ע”י הפשטה של מכפלת מטריצות לעמודתיהן:

נסמן כעמודות בהתאמה. אזי מתקיים:

באותו אופן, שורות המכפלה הן צ”ל של שורות .