ALG1_003 מטריצות

מטריצות

מטריצה

הגדרה:

מבנה מלבני של איברים עם שורות ו- עמודות נקרא מטריצה מסדר :

מטריצה תוחמים עם סוגריים עגולים או מרובעים:

הסוגריים הבאים אסורים, כיוון שהם נותנים משמעות שונה לאיברים שבתוכם:

לא נהוג לשים פסיקים (בין האיברים) בתוך מטריצה, אלא אם כן זו מטריצה בעלת שורה אחת.
את המטריצות נהוג לסמן באותיות גדולות, למשל וכו’.
את האיברים במטריצה מסמנים לרוב עם אותיות קטנות ושני אינדקסים:
האינדקס לסימון מספר השורה והאינדקס לסימון מספר העמודה: .
לפעמים גם מסמנים את האיבר כך: או .
אם אחד האינדקסים דו-ספרתי, נוסיף פסיק בין האינדקסים: .

אוסף כל המטריצות מסדר עם איברים בקבוצה (לרוב שדה), מסומן .

דוגמאות:

1. המטריצה:

פעולות חשבון על מטריצות

הגדרה:

יהיו שתי מטריצות.

1. שוויון: נאמר כי שוות, ונסמן אם:

• שתיהן מאותו הסדר (שוויון סדרים).
• כל האיברים שווים בהתאמה לכל (שוויון איברים).

2. סכום: נגדיר את המטריצה להיות מטריצה המתקבלת ע”י חיבור איבר איבר בהתאמה, כלומר: לכל .
   מתקיים:
3. כפל בסקלר: נגדיר את המטריצה להיות המטריצה המתקבלת ע”י הכפלת כל איבר של בסקלר , כלומר לכל .
   מתקיים:

שחלוף

הגדרה:

תהי . נגדיר את המטריצה המשוחלפת של להיות המטריצה המתקבלת מ- ע”י כתיבת כל שורה שלה כעמודה בהתאמה.
מסמנים: או .
כלומר:

לכל .
מתקיים:

דוגמאות:

1. עבור המטריצה:

תכונות הפעולות הבסיסיות

משפט:

יהיו מטריצות עם איברים בשדה ויהיו סקלרים ב-.
בהנחה שהפעולות הבאות מוגדרות, אזי מתקיים:

---

כפל מטריצות

כפל שורה בעמודה

הגדרה:

תהי שורה של מטריצה עם איברים, ותהי עמודה של מטריצה עם איברים.
נגדיר:

נשים לב כי התוצאה של כפל זה היא מספר!

כפל מטריצות

הרעיון: נכפול כל שורה של עם כל עמודה של ונקבל את המספר שיופיע במקום ה- במטריצת התוצאה.
כדי לממש זאת, “אורך” השורה של צריך להיות שווה ל”אורך” העמודה של . לכן:

• מספר עמודות צריך להיות שווה למספר שורות .
• מספר השורות בתוצאה זהה למספר השורות של .
• מספר העמודות בתוצאה זהה למספר העמודות של .

הגדרה:

תהי מטריצה ומטריצה . המכפלה היא מסדר המוגדרת כך:

תרגיל:

1. עבור המטריצות חשבו, אם ניצן, את המכפלות ו-. המכפלה לא מוגדרת כי .
   המכפלה כן מוגדרת כי וסדר התוצאה הוא .

הערות:

1. כפל מטריצות הוא לא קומוטטיבי (לא חילופי).

חזקה של מטריצה

הגדרה:

תהי מטריצה מסדר , ויהי טבעי. נגדיר:

תכונות כפל מטריצות

משפט:

יהיו מטריצות עם איברים בשדה ויהי , ויהיו . בהנחה שהפעולות הבאות מוגדרת, אזי מתקיים:

כפל מטריצות מזווית אחרת

נכפול מטריצה במטריצת עמודה מימין:

נוכל לכתוב את הכפל כך:

באופן כללי, איבר בעמודה הימנית אומר כמה פעמים לקחת את עמודה במטריצה .
נכליל לכפל מטריצה במטריצה:

כפל מטריצות ככפל מטריצה בעמודה

מסקנה:

תהי . נסמן עמודות בהתאמה. אזי, המטריצה כפול העמודה ה- של ייתן את העמודה ה- של ,כלומר:

---

למשל:

באותו אופן, ניתן גם “לפרק” את המטריצה השמאלית לשורות:

כפל מטריצות ככפל שורה במטריצה

מסקנה:

תהי . נסמן את שורות בהתאמה. אזי, השורה ה- של כפול המטריצה ייתן את השורה ה- של , כלומר:

---

שאלה:

נתון כי כאשר מטריצת עמודה. האם ?
תשובה: לא. דוגמה נגדית:

אבל:

שוויון במכפלת כל עמודה במטריצה גורר שוויון מטריצות

מסקנה:

אם לכל מטריצת עמודה מתקיים אזי .

הוכחה:
מאחר והשוויון מתקיים לכל עמודה . נבחר את העמודות:

מקבלים: , כלומר, העמודה הראשונה של שתי המטריצות שווה. באותו אופן מקבלים כי עבור כל עמודה מתקיים . ולכן המטריצות שוות.

מטריצות מיוחדות

מטריצת האפס

הגדרה:

מטריצה מסדר שכולה אפסים נקראת מטריצת האפס ומסומנת :

תכונות מטריצת האפס

מסקנה:

מטריצה ריבועית

הגדרה:

מטריצה מסדר נקראת מטריצה ריבועית. לעיתים אומרים מטריצה מסדר . מטריצה זו מאופיינת בשלושה אזורים:

1. אלכסון ראשי:
   כל האיברים במטריצה בהם האינדקסים שלהם מקיימים :

2. משולש עליון:
   כל האיברים במטריצה בהם האינדקסים שלהם מקיימים :

3. משולש תחתון:
   כל האיברים במטריצה בהם האינדקסים שלהם מקיימים :

מטריצת היחידה

הגדרה:

מטריצה מסדר שבה יש באלכסון הראשי ו- בכל מקום אחר נקראת מטריצת היחידה ומסומנת .

תכונות מטריצת היחידה

מסקנה:

מטריצה סקלרית

הגדרה:

מטריצה מסדר שבה יש סקלר באלכסון הראשי ו- בכל מקום אחר נקראת מטריצה סקלרית.

מטריצות אלה מתנהגות כמו סקלרים. לכפול מטריצה במטריצה סקלרית שקול להכפלת המטריצה בסקלר, בתנאי שהכפל מוגדר.

תכונות המטריצה הסקלרית

מסקנה:

נסמן ב- את אוסף המטריצות הסקלריות, אזי:

1. הקבוצה סגורה לכפל בסקלר.
2. הקבוצה סגורה לחיבור.
3. הקבוצה סגורה להעלאה בחזקה.
4. הקבוצה סגורה לכפל.
5. האיברים ב- מתחלפים בכפל.
6. האיברים ב- מתחלפים בכפל עם “כולם”

מטריצה אלכסונית

הגדרה:

מטריצה מסדר שבה יש מחוץ לאלכסון נקראת מטריצה אלכסונית:

תכונות המטריצה האלכסונית

מסקנה:

נסמן ב- את אוסף המטריצות האלכסוניות, אזי:

1. הקבוצה סגורה לכפל בסקלר.
2. הקבוצה סגורה לחיבור.
3. הקבוצה סגורה להעלאה בחזקה.
4. הקבוצה סגורה לכפל.
5. האיברים ב- מתחלפים בכפל.

מטריצה משולשת עליונה ותחתונה

הגדרה:

מטריצה מסדר שבה יש במשולש התחתון נקראת מטריצה משולשת עליונה:

מטריצה מסדר שבה יש במשולש העליון נקראת מטריצה משולשת תחתונה:

תכונות המטריצה המשולשת העליונה והתחתונה

מסקנה:

נסמן ב- את אוסף המטריצות המשולשות העליונות/התחתונות, אזי:

1. הקבוצה סגורה לכפל בסקלר.
2. הקבוצה סגורה לחיבור.
3. הקבוצה סגורה להעלאה בחזקה.
4. הקבוצה סגורה לכפל.

מטריצה סימטרית

הגדרה:

מטריצה מסדר שבה המשולש העליון שווה למשולש התחתון נקראת מטריצה סימטרית:

נשים לב שעל האלכסון, כלומר כאשר , מתקיים - אין אילוצים על האלכסון ולכן איבריו חופשיים.

תכונות המטריצה הסימטרית

מסקנה:

נסמן ב- את אוסף המטריצות הסימטרית, אזי:

1. הקבוצה סגורה לכפל בסקלר.
2. הקבוצה סגורה לחיבור.
3. הקבוצה סגורה להעלאה בחזקה.

מטריצה אנטי-סימטרית

הגדרה:

מטריצה מסדר שבה המשולש העליון שווה למינוס המשולש התחתון נקראת מטריצה אנטי-סימטרית.

נשים לב שעל האלכסון, כלומר כאשר , מתקיים , ולכן .

תכונות המטריצה האנטי-סימטרית

מסקנה:

נסמן ב- את אוסף המטריצות האנטי-סימטריות, אזי:

1. הקבוצה סגורה לכפל בסקלר.
2. הקבוצה סגורה לחיבור.

שחלוף מטריצה סימטרית ואנטי-סימטרית

מסקנה:

מטריצה היא מטריצה סימטרית אמ”ם .
מטריצה היא מטריצה אנטי-סימטרית אמ”ם .

מטריצה מדורגת

הגדרה:

מטריצה מסדר שבה מספר האפסים משמאל הולך וגדל משורה לשורה, ואם ישנן שורות אפסים הן כולן למטה, נקראת מטריצה מדורגת. האיבר הראשון ששונה מ- בכל שורה של מטריצה מדורגת נקרא איבר מוביל.

דוגמאות:

1. המטריצה:

היא מטריצה מדורגת.

תכונות המטריצה המדורגת

מסקנה:

נסמן ב- את אוסף המטריצות הסקלריות, אזי:

1. הקבוצה סגורה לכפל בסקלר.

מטריצה קנונית

הגדרה:

מטריצה מדורגת מסדר המקיימת את שתי התכונות הבאות נקראת מטריצה קנונית:

1. כל איבר מוביל שווה ל-.
2. האיבר המוביל הוא היחידי בעמודה שלו ששונה מ-.

עקבה

הגדרה:

תהי מטריצה ריבועית מסדר . העקבה של מסומנת ושוואה לסכום איברים האלכסון של . כלומר:

תכונות העקבה:

מסקנה:

יהיו ויהי . אזי:
1.