ALG1_002 פולינומים

פולינומים

פולינום

הגדרה:

הביטוי:

כאשר מספרים ו- נקרא פולינום ממעלה . מסמנים . אם הם מספרים ממשיים נאמר ש- הוא פולינום ממשי, אם הם מספרים מרוכבים, נאמר שהוא פולינום מרוכב.

המקדמים נקראים מקדמי הפולינום, נקרא המקדם המוביל ו- נקרא המקדם החופשי.

מספר קבוע השונה מאפס הוא פולינום ממעלה אפס.

הביטוי נקרא פולינום האפס, ולפולינום זה מעלה לא מוגדרת/שלילית אינסופית ().

דוגמאות:

1. הביטוי הוא פולינום ממעלה . ניתן גם לרשום אותו כך:

האם זה אומר שהוא פולינום גם ממעלה ? ממש לא! נשים לב שבהגדרתנו, מעלת הפולינום נוגעת ל- ששונה מ-!
2. הפולינום הוא פולינום ממעלה . בעצם, ניתן לרשום אותו כך:

3. הפולינום הוא פולינום שמעלתו ניתן להגדיר באופנים שונים.
   ראשית נסביר מדוע הוא לא :
   באותו אופן כמו בדוגמה 1, אומנם ניתן לרשום את הפולינום כך:

אך בהגדרתנו מעלת הפולינום נוגעת אך ורק ל- ששונה מ-.

ישנם אשכולות בהן מעלת פולינום האפס לא מוגדר, וישנן בהן מעלת הפולינום האפס היא כיוון שאז בהגדרות ומשפטים הנוגעים למעלת הפולינום אין צורך לפרק למקרים בהם הפולינום מוגדר או לא מוגדר.

פעולות חשבון על פולינומים

משפט:

יהיו שני פולינומים (כלומר, ממעלה ו- ממעלה ).

1. שוויון: נקראים שווים ומסמנים אם כל המקדמים של חזקות שווים בהתאמה. כלומר אם ו- לכל .
2. סכום: בחיבור פולינומים מחברים את המקדמים בהתאמה.
   למשל אם , אז:

כאשר:

3. מכפלה: מכפלת פולינומים מוגדרת כמו מכפלת ביטויים אלגבריים:

כאשר:

דוגמאות:

1. עבור מתקיים הסכום:

והמכפלה:

מעלת סכום ומכפלת פולינומים

משפט:

1. המעלה של סכום פולינומים קטנה או שווה למעלה הגבוהה מבין מעלותיהן:

2. המעלה של מכפלת פולינומים שווה לסכום המעלות שלהם:

3. לא קיים זוג פולינומים ממעלה גדולה מאפס כך ש:

חילוק פולינומים

הגדרה:

הפעולה ההפוכה לכפל פולינומים היא חלוקתם.
חלוקת פולינום בפולינום היא הצגת אופן הבא:

כאשר היא המנה, היא השארית ו-. אם נאמר שהפולינום מתחלק ב- ללא שארית.

בחלוקת פולינומים, משתמשים באותו אלגוריתם כמו חלוקת מספרים ממשיים.

דוגמאות:

1. עבור :

2. עבור ו-, נקבל כי:

כלומר:

משפט השארית

משפט:

השארית לאחר חילוק הפולינום ב- שווה לערך הפולינום בנקודה , כלומר . כלומר, הוא מספר ולפעמים מסומן בפשוט .

דוגמאות:

1. עבור הפולינום , חילוקו בפולינום מניב:

ואכן .

הוכחה:
נחלק את ב- ונקבל:

נציב :

חילוק פולינום ב-

מסקנה:

פולינום מתחלק ב- ללא שארית, אמ”ם .

שורש הפולינום

הגדרה:

למספר המאפס את הפולינום קוראים שורש הפולינום או פתרון המשוואה .

דוגמאות:

1. השורשים של הפולינום הם .

המשפט היסודי של האלגברה

משפט:

לכל פולינום ממשי או מרוכב ממעלה גדולה מאפס יש לפחות שורש מרוכב אחד. נציין שלא לכל פולינום ממשי יש שורשים ממשיים.

דוגמאות:

1. לפולינום יש שני שורשים ואין שורשים ממשיים.

לכל פולינום מרוכב יש מספר שורשים שווה למעלתו

משפט:

לכל פולינום מרוכב:

יש בדיוק שורשים (לא בהכרח שונים) , כלומר:

הוכחה:
לפי המשפט היסודי של האלגברה, יש לפולינום לפחות שורש אחד, נסמנו . לכן לפי המסקנהf(x)x-x_{1}$, ולכן:

נשים לב כי והמקדם המוביל של הוא (כי המקדם המוביל של הוא 1).
לפי אותו משפט, יש ל- לפחות שורש אחד (ייתכן ) ולכן:

נציב את ב- ונקבל:

נמשיך באותה דרך עד שנקבל את ונקבל את הפירוק הסופי .

ריבוי

הגדרה:

אם פולינום מתחלק ללא שארית ב- (כאשר ), ולא מתחלק ב-, אזי ל- קוראים ריבוי של השורש ו- הוא שורש בריבוי .

ריבוי השורש תלוי בנגזרתו של הפולינום

משפט:

ריבויו של השורש הוא () אמ”ם:

כאשר הכוונה ב- היא הנגזרת ה- של .

בפולינום ממשי, הצמוד של שורש מרוכב גם שורש

משפט:

יהי פולינום עם מקדמים ממשיים ממעלה . אם לא ממשי, שורש מריבוי של אז גם שורש מריבוי של .

משפט הניחוש האינטלגנטי

משפט:

יהי פולינום ממעלה . אם שבר מצומצם הוא שורש של , אז בהכרח ו- (כלומר, המונה מחלק את המקדם החופשי והמכנה מחלק את המקדם המוביל).

תרגיל:

1. מצאו את השורשים של הפולינום .
   מקדמי הפולינום מספרים שלמים ולכן לפי משפט הניחוש האינטלגנטי, אם לפולינום קיים שורש רציונלי מצומצם אז בהכרח ו-.
   לכן: ו-. מספיק לבדוק לפי סימן רק בקבוצה אחת, כלומר .
   נבחן עבור המקרה: מצאנו כי אכן הוא שורש של . כעת נחלק את ב-. נקבל כי . שאר השורשים החסרים הם השורשים של . המקדים שלמים ולכן נשתמש שוב בניחוש האינטלגנטי.
   המקדם החופשי והמקדם המוביל לא השתנו ולכן עדיין: נבחן עבור המקרים: מצאנו כי אכן הוא שורש של .
   נחלק את בפולינום ונקבל את הפולינום . כלומר: נפרק את לגורמים: וכעת קיבלנו כי: ואכן השורשים הם מריבוי כל אחד.

נוסחאות ויאטה

משפט:

יהי פולינום ממעלה ו-.
שורשיו, , מקיימים:

וגם:

הוכחה:
יהי פולינום ממעלה ו-.
אזי, קיימים כך ש-. לכן:

ע”י השוואת מקדמים של חזקות בשני האגפים, נקבל נוסחאות הידועות בשם נוסחאות ויאטה.
קיימים מקדמים אבל מאחר ומקדם בשני האגפים הוא הרי שיש רק נוסחאות.
נתחיל מהמקרה הפשוט ביותר, השוואת המקדם החופשי בשני האגפים.

קיבלנו את .
כדי לקבל את , נפנה לעליזה שיודעת להסביר את זה יותר טוב: