ALG1_001 שדות

שדות

שדה

הגדרה:

קבוצה שבה מוגדרות שתי פעולות: פעולת חיבור ופעולת כפל נקראת שדה ואיבריה נקראים סקלרים, אם לכל ב- מתקיימות 11 התכונות הבאות:

1. סגירות לחיבור:
2. אסוציאטיביות בחיבור:
3. קומוטטיביות בחיבור:
4. קיים ב- אדיש לחיבור, המסומן , ומקיים:
5. לכל ב- קיים נגדי ב-, המסומן , ומקיים:
6. סגירות לכפל:
7. אסוציאטיביות בכפל:
8. קומוטטיביות בכפל:
9. קיים ב- אדיש לכפל, המסומן , ומקיים:
10. לכל ב- קיים הופכי ב-, המסומן ומקיים:
11. דיסטריביוטיביות:

דוגמאות:

1. הקבוצה היא לא שדה כי אין בה אדיש לחיבור.
2. הקבוצה היא לא שדה כי אין בה הופכי.
3. הקבוצות הן שדות. קל להשתכנע שכל התכונות מתקיימות.
4. קבוצת המספרים האי רציונליים היא לא שדה.

• למשל אין בה סגירות לחיבור:

הערות:

1. האיבר נקרא גם איבר ניטרלי.
2. האיבר נקרא גם יחידה.
3. בשדה, האדיש לחיבור בהכרח שונה מהאדיש לכפל: .
4. בשדות יש אינסוף איברים ולכן הם שדות אינסופיים.
5. ישנם גם שדות עם מספר סופי של איברים, אשר נקראים שדות סופיים.

מאפייני השדה

משפט:

יהי שדה. אזי:

1. האדיש לחיבור הוא יחיד.
2. האדיש לכפל הוא יחיד.
3. הנגדי עבור איבר מסוים הוא יחיד.
4. ההופכי עבור איבר מסוים הוא יחיד.
5. לכל מתקיים
6. לכל מתקיים
7. מתקיים אמ”ם או .

לכל מתקיים:

9. אם אז (צמצום בחיבור)
10. אם וגם אז