SLD2_E2020WA 2020 חורף מועד א

שאלה 1

נתונים:

סעיף 1

דג”ח חיצוני של הבעיה, ללא הזיז.

משיקולי שיווי משקל אנו יכולים לראות ש:

נבנה כעת שני חתכים:

שני חתכים, אחד שלילי ואחד חיובי, בהם מוצגים רק המומנט הפנימי שמתפתח בחתך.

ניתן לראות משני חתכים אלו ש:

1. המומנט הפנימי תמיד שלילי.
2. המומנט הפנימי בקצה אפסי.
3. המומנט בחתך החיובי ( עד ) קבוע, ושווה למומנט התגובה ב-.

לפיכך, מהלך מומנטי הכפיפה נתונים ע”י:

מהלך מומנטי הכפיפה סביב לאורך הקורה.

סעיף 2

מהדג”ח החיצוני בסעיף קודם, משוואות שיווי משקל:

סעיף 3

נביט בחתך חיובי קרוב מאוד לנקודה (אותו החתך מסעיף 1). מטבלת שקיעות, מקרה :

מאותו החתך, נוכל לראות משיקולי שיווי משקל ש- . מהחתך החיצוני, אם נחשב מומנט סביב נקודה :

לכן (סמוך ל-) ונוכל להציב זאת בביטוי שלנו עבור השקיעה:

לפיכך:

סעיף 4

הפונקציות ו- מייצגות הזזה וסיבוב. אם הן היו לא רציפות, אז הן היו מעידות על שבר כלשהו בחומר, שזה לא הגיוני. הפונקציה פרופורציונלית למומנט סביב , שכבר ראינו שהוא רציף.
נותר שהוא פרופורציונלי לכוח הגזירה, שאכן לא רציף ב- בגלל כוח התגובה שמפעיל הזיז.

סעיף 5

דג”ח של הקורה לאחר הדפורמציה. כפי שניתן לראות, כעת עלול להתפתח כוח נורמלי ב-.

נרצה למצוא את זווית הסיבוב . באותו אופן כמו בסעיף 3, נמצא את הזווית ב- מטבלת שקיעות מקרה :

כבר מצאנו בסעיפים קודמים ש- . לפיכך, ממשוואות שיווי משקל:

מהנחת זוויות קטנות, , ולכן:

שטויות

נביט בחתך שלילי קרוב מאוד לנקודה (אותו החתך מסעיף 1). מטבלת שקיעות, מקרה ו-, השקיעה תהיה נתונה ע”י:

שאלה 2

סעיף 6

נחלק את הקורה לשלושה חלקים:

שלושת המלבנים המרכיבים את הקורה, כל אחד במערכת הראשית שלו.

עבור המלבנים הצדדיים, כל אחד במערכת הראשית שלו, רכיב של טנזור האינרציה יהיה נתון ע”י:

נזיז כל אחד מהם למערכת ראשית שמרכזה בנקודה בעזרת שטיינר (כאן מופיע רק החישוב של אחד מהם, כי הם זהים):

נכפילו פי כדי להתייחס גם לצד השני:

תרומת המלבן העליון ל- זניחה כי במערכת הראשית שלו, שכבר ב-, הוא נתון ע”י , אבל .

לכן:

סעיף 7

נמצא את מרכז הכובד של החתך (בציר , ביחס ל-):

נזיז לפי שטיינר (כאשר נשים לב שאנו מזיזים אל המערכת צירים במרכז מסה):

לפיכך:

סעיף 8

עבור החתך הקטן יותר, מרכז הכובד (לפי ) יהיה נתון ע”י:

כאשר הוא במינוס מאחר והוא נמצא מעל הנקודה .
לכן מרכז הכובד של כלל החתך החדש יהיה נתון ע”י:

לפיכך, מרכז הכובד של החתך נמצא במרחק מתחת לקטע .

סעיף 9

במערכת הראשית, הציר הניטרלי יהיה נתון ע”י:

כאשר ו- הם המומנטי אינרציה במערכת הראשית ובמרכז המסה של החתך.
מהעומסים החיצוניים הנתונים, לא מתפתח ו- ולכן הציר יהיה נתון ע”י:

כאשר . מאחר וגם , נקבל שהציר הניטרלי נתון ע”י:

נזכור שראשית הצירים כאן היא מרכז המסה של החתך, ולכן הציר לא עובר דרך , אבל עדיין מקביל ל-.

סעיף 10

נחזור לביטוי עבור המאמץ:

נרצה למצוא את :

חתך שלילי מקצה הקורה.

משיווי משקל על המומנטים סביב החתך קל לראות כי:

נציב בחזרה בביטוי עבור :

נקבל גודל מקסימלי של כאשר מקסימלי ו- מקסימלי. כלומר, כאשר (שוב, נמדוד ממרכז הכובד של החתך, שנמצא במרחק מ-):

סעיף 11

נמצא את המאמץ גזירה בקטע :

חתך בקטע .

ממאמצי גזירה בכפיפה (במערכת ראשית):

במקרה שלנו, ו- (מחתך שלילי מקצה הקורה). לכן:

לגבי , קל לראות כי מרכז המסה של התת-חתך ייפול בצד החיובי של (שוב, מודדים ממרכז המסה של כלל החתך), ולכן .

לפיכך:

כלומר, הוא בכיוון הנגדי שבו שרטטנו אותו - .

סעיף 12

מאותו הביטוי למאמץ הגזירה, כאשר נשים לב ש- תמיד מקיים :

את נמצא מחתך:

תת-חתך עד לנקודה , כאשר היא שפה חופשית.

נציב בגודל :

סעיף 13

לאורך קטע (או ), ככל שמתקרבים יותר למרכז החתך, גודל יורד כי יש מתווספת יותר מסה (באופן לינארי) לצד השלילי של ציר .
באמצע הקטע , המאמץ מתאפס כי הגענו לנקודה סימטרית.
בנקודות לפי רציפות זרימת הגזירה, נסיק כי לא נשברת רציפות מאמץ הגזירה מהקטעים ו-. כלומר, זרימת הגזירה שיוצאת מ- לכיוון גדולה (או קטנה) מזרימת הגזירה שנכנסת מ- בשיעור של זרימת הגזירה שמגיעה מ- (שהיא לא אפס). לפיכך:

פרופיל גודל מאמץ הגזירה בקטע .

סעיף 14

נרצה למצוא את הכוח שמפעיל הציר על הקורות:

דג”ח על הציר. משיווי משקל, קל לראות כי

שקיעות הקורות בקצה החופשי תהיינה זהות אחת לשנייה. מטבלת שקיעות מקרה , עבור הקורה התחתונה:

עבור הקורה העליונה:

נשווה:

מהסעיפים הראשונים:

נציב בביטוי עבור :

מחוק ראשון ניתן לראות ש- , ולכן:

סעיף 15

הקורה העליונה יותר רגישה לכפיפה, כך שהיא תרצה לשקוע יותר מהקורה התחתונה, ולכן תיצמד אליה בכפיפה.
ראינו כבר בסעיף קודם שהכפיפה של הקורה התחתונה כבר תלויה בכוח יותר קטן, וגם קל לראות שה- של הקורה התחתונה יותר קטן מה- של הקורות המודבקות.
לפיכך, שקיעת הקורות בקצה החופשי שונה מזו של הקורה המודבקת.

שאלה 3

סעיף 16-17

נרצה למצוא את האנרגיה האגורה בקורה. האנרגיה האגורה בקורה נתונה ע”י:

חתך בזווית של הקורה הנתונה. אנו מתעלמים מהכוחות גזירה שמתפתחים כאן, כי הם יוצרים מאמצי גזירה הרבה יותר קטנים, ולפיכך זניחים, ביחס למאמץ הנורמלי לכיוון הקורה.

ממשוואות שיווי משקל:

לכן, המאמץ הנורמלי בקורה (שנסמנו מטעמי נוחות) נתון ע”י:

תרומת הרכיב הנורמלי זניחה לתרומת המומנט, ולכן נזניח אותו:

מקשרי מאמץ עיבור (שוב, המאמץ הוא הכי דומיננטי לאורך הקורה, כך שהשאר זניחים):

נציב בחזרה בביטוי עבור :

כאשר חילצנו ביטויים שלא תלויים באינטגרל על הנפח כמו . נוכל לעשות את אותו הדבר עבור הכוחות:

נפרק לאינטגרל על האורך ואינטגרל על השטח, ונשים לב ש- :

את האינטגרל על האורך נוכל לעשות ע”י החלפת משתנים, כאשר נשים לב ש- וגם :

מהשוואת מקדמים ניתן לראות שעלינו לחשב רק את האינטגרלים הבאים:

לפיכך:

לא יודע למה יצא לי מינוס.

סעיף 18

תיאור מוגזם של ההזזה הנתונה.

משיקולי גאומטריה, גוזל ההזזה האנכית נתון ע”י:

משיקולי זוויות קטנות, מתקיים ולכן:

סעיף 19

ראינו בסעיף קודם שלא מתרחשת הזזה בעקבות הכוח שמפעיל הציר. כלומר, לא יוצר הזזה. לפיכך, לפי משפט השני של קסטיליאנו:

נציב את נגזרתו של לפי :

נציב את הנתונים על המקדמים ונקבל:

סעיף 20

נחשב את הזזה (האופקית) המתקבלת כתוצאה מכוח :

מהסעיף הקודם:

נציב ונקבל:

משיקולי זוויות קטנות, הזווית שגורמת לתזוזה אופקית זו נתונה ע”י:

נשים לב שמאחר וסימנו את רכיבי הכוח על הקורה כתוצאה מהמומנט ב- ו-, מתקיים . לפיכך:

סעיף 21-23

לא בחומר.

סעיף 24

קל לראות זאת מקשרי מאמץ עיבור.