SLD2_E2019WA 2019 חורף מועד א

שאלה 1

נתונים:

סעיף 1

נתון כי שני הקירות קשוחים לחלוטין, ולכן בכל התיבה:

לכן, מחוק הוק המוכלל:

נתון כי מפעילים לחץ על שתי הפאות הניצבות, כך שנוצרת לחיצה על התיבה. כלומר, .
נתון גם כי שתי הפאות הנותרות של הקובייה חופשיות מעומסים. לפיכך, .
נציב ונקבל:

סעיף 2

טנזור המאמץ שלנו נתון ע”י:

נפרק את הביטוי הנתון לשתיים:

מתקיים וגם ולכן הביטוי השני:

נציב בביטוי המקורי ונקבל:

סעיף 3

העיבור במערכת המקורית נתון ע”י (לפי קשרי מאמץ עיבור):

הסיבוב הנתון:

לכן טנזור הסיבוב:

לפיכך, העיבורים בכיוונים הנורמליים למערכת הצירים החדשה נתונים ע”י:

נפתח את הביטוי הרצוי:

נציב:

סעיף 4

נתון:

לכן:

לפיכך:

סעיף 5

סיב חומרי שהיה בכיוון לא הסתובב בכלל לכיוון , ולכן .
סיב חומרי שהיה בכיוון כן הסובב לכיוון בשיעור של (הנחת זוויות קטנות):

תיאור ההזזה.

סעיף 6

טנזור גרדיאנט ההזזה שלנו ייראה כך:

נשתמש באותו טנזור הסיבוב:

לכן:

סעיף 7

קריטריון פון-מיזס נתון ע”י:

נרצה למצוא את המאמצים המתפתחים במצב החדש שלנו.
מהגדרת טנזור העיבור נקבל:

מקשרי מאמץ עיבור:

נרצה למצוא את המאמצים הראשיים:

ולכן המאמצים הראשיים הם:

נציב בקריטריון פון-מיזס:

שאלה 2

נתונים:

סעיף 8

נפרק את המבנה לחלקים. החלק האופקי העליון בעל רכיב זניח (). מרחק מרכז המסה שלו ממרכז המסה של כלל החתך הוא ולכן לפי שטיינר:

החלק האנכי הימני בעל רכיב המקיים:

לאחר הזזה לפי שטיינר הוא לא ישתנה כי מרחקו האנכי של מרכז המסה שלו ממרכז המסה של כלל החתך הוא אפסי. לפיכך:

החתך סימטרי, והרכיב תמיד חיובי, כך שנותר לנו רק לסכום (לפי סופרפוזיציה) ולהכפיל פי :

סעיף 9

גודל המאמץ עבור קורה בכפיפה נתון ע”י (מערכת ראשית, חומר איזנטרופי):

נמצא את המומנט הפנימי המתפתח בקורה.

דג”ח חיצוני על הבעיה. התעלמנו מהתגובה האופקית ב- כי קל לראות שהיא אפסית.

משיקולי שיווי משקל, ניתן לראות ש:

חתך חיובי באמצע הקורה.

משיקולי שיווי משקל:

נציב בחזרה בביטוי עבור :

המקסימלי יתקבל עבור מקסימלי, שהוא . לכן:

סעיף 10

הכוח השקול נתון ע”י הסכימה של המאמצים בקטע הרצוי:

הכוח השקול הזה כולל גם את . מאחר והם סימטריים, נוכל פשוט לחצות את הגודל שקיבלנו:

סעיף 11

המאמץ הוא כמו עומס מפורש.

נשים לב שניתן להחליף את ה”עומס המפורש” בכוח מרוכז הפועל במרחק מ- ובגודל שחישבנו מהסעיף הקודם.

לכן המומנט:

סעיף 12

חתך חיובי במרחק מסמך .

משיקולי שיווי משקל, מאמץ הגזירה נתון ע”י:

מאמץ הגזירה נתון ע”י:

נציב את הנתונים שלנו:

נקבל מקסימלי בקטע בנקודה . לכן:

נציב ב-:

סעיף 13

בנקודה נצטרך כבר להתייחס למחצית מהחתך, שמרכז הכובד שלו נתון ע”י:

לפיכך, ה- עבור מחצית מהחתך:

נציב ב-, כאשר נזכור לחלק ב- כי:

שרטוט של מחצית מהחתך. נשים לב שאנו בעצם מחשבים כאן את מאמץ הגזירה על שתי שפות (שהוא זהה בשתיהן מטעמי סימטריה).

סעיף 14

מאמץ הגזירה ב- פרופורציונלי ל- של . מאמץ הגזירה ב- פרופורציונלי ל- של מחצית הקורה האופקית, שקטן יותר מה- של . לכן .

מזרימת הגזירה, ניתן לראות כי ולכן:

סעיף 15

לא בחומר.

שאלה 3

נתונים:

סעיף 16

דג”ח חיצוני על הבעיה הנתונה. התגובה האופקית ב- לא משורטטת כי קל לראות שהיא אפסית.

משיקולי שיווי משקל ניתן לראות ש:

חתך חיובי .

משיווי משקל על מומנט סביב החתך:

נציב את הנתון על ונקבל:

סעיף 17

רכיב המאמץ נתון ע”י:

טנזור האינרציה והשטח של החתך:

משיקולי שיווי משקל, הכוח הנורמלי מקיים:

נציב הכל בחזרה בביטוי עבור :

המשתנה בתחום . לכן:

סעיף 18

גודל מאמץ הגזירה נתון ע”י (במערכת ראשית, חומר איזנטרופי):

מהדג”ח הקודם ניתן לראות שבמקרה שלנו:

לכן:

התת-חתכים הרלוונטים לבעיה.

ניתן לראות ש- עבור יהיה שלילי - מרכז הכובד שלו בחלק השלילי של . לעומת זאת, ה- עבור יהיה חיובי. לפיכך:

כלומר, בכיוון המשורטט, ואילו בכיוון ההפוך מהמשורטט.
לכן הרכיבי גם של וגם של שליליים שניהם. כלומר:

סעיף 19

נשתמש בשיטות אנרגיה. האנרגיה האלסטית האגורה בגוף נתונה ע”י:

נפרק לארבעה קורות, כאשר נשים לב שבכל קורה מומנט הכפיפה מתפתח באותו הגודל ככל שמתקרבים ל-. עבור החלק התחתון אפשר להראות זאת ע”פ סימטריה. עבור החלק העליון:

דג”ח על קורה .

קל לראות מהדג”ח שמתקיים:

לפיכך יש גם סימטריות עבור החלק העליון מבחינת מומנט הכפיפה הפנימי.
מומנט כפיפה זה נתון ע”י:

כאשר הוא המרחק מהסמך (או מהנקודות ו-). באינטגרל נכפיל אותו פי :

לפי משפט השני של קסטיליאנו:

תזוזת הקורה העליונה היא גם התזוזה האנכית של נקודה . לכן:

סעיף 20

נפעל שוב בשיטות אנרגיה, אך הפעם נפעיל כוח דמה אופקי בנקודה :

הדגמה של אופן הפעלת הכוח.

כעת, מדג”ח חיצוני זריז, לסמך ב- יש תגובה אופקית באותו הגודל:

לכן, בקורה מתפתח מומנט כפיפה שונה משאר הקורות.

חתך בקורה .

משיקולי שיווי משקל:

כעת, האנרגיה האלסטית נתונה ע”י:

לפי משפט קסטיליאנו, נקבל את התזוזה האופקית של כאשר נגזור את לפי :

במקרה שלנו , ולכן:

סעיף 21

באותו אופן כמו בסעיף קודם, “נמציא” מומנט דמה ב-. נקבל:

הדגמה של אופן הפעלת המומנט.

התגובות בסמכים כעת יהיו (מדג”ח חיצוני, מומנט סביב נקודת הפעלת ):

מסכום כוחות:

ולכן:

חתכים בקורה .

משיקולי שיווי משקל, כאשר :

כאשר :

עבור , זה יהיה כמעט כמו בחצי הראשון שלו:

לכן האנרגיה האלסטית שאגורה במבנה תהיה מהצורה הבאה:

כאשר האינטגרל הראשון מייצג את המומנט כפיפה בקורות העליונות, שלא השתנה בסעיף זה, כי הוא לא תלוי ב-. לכן, כאשר נגזור אותו לפי , הוא ייתאפס. המשפט השני של קסטיליאנו:

המומנט הוא עומס דמה ולכן :

אכפת לנו רק מהמקדם :

ולכן גודל זווית הסיבוב נתונה ע”י:

סעיף 22

שוב, “נמציא” כוח דמה אופקי בנקודה :

אופן הפעלת הכוח.

כמו בסעיף 20, האנרגיה האלסטית האגורה במבנה כעת שונה, אבל היא סימטרית לעומת המקרה בסעיף ההוא.

לפי משפט קסטיליאנו, נקבל את התזוזה האופקית של (שהיא ) כאשר נגזור את לפי :

לכן:

ואז הגודל: