SLD2_E2016WA 2016 חורף מועד א

חלק א’

סעיף 1

העקבה של טנזור המאמצים וטנזור העיבורים הוא אינווריאנט. לפיכך, העקבה בחזקת גם כן תישאר אינווריאנט.

סעיף 2

נתון:

מאחר ופועלים על חתך הקורה רק מומנט כפיפה וכוח גזירה, נוכל להסיק ש-, וש- . לכן, טנזור המאמצים שלנו:

נרצה למצוא את המאמצים הראשיים. ע”ע:

ולכן המאמצים הראשיים הם:

לפי פון מיזס, מאחר וכבר בנקודה יש כניעה:

ולכן:

סעיף 3

כבר חישבנו בסעיף קודם:

סעיף 4

הכיוון הראשי המתאים ל- הוא הוקטור העצמי המתאים לו. כלומר, יתקיים:

נדרג לקנוני:

נקבל את מערכת המשוואות:

ללא האילוץ של וקטור יחידה, יש לנו דרגת חופש מבחינת גודל הוקטור. לכן נבחר פשוט , ונקבל ש- ו- . כעת נפעיל את האילוץ של וקטור היחידה () ונקבל:

סעיף 5

לא בחומר.

סעיף 6

מהגדרת טנזור העיבור:

מהגדרת טנזור גרדיאנט ההזזה, מתקיים . לכן, לפי הגדרת הנגזרת החלקית:

כאשר בשוויון השני הנחנו ש- רציף. לכן:

סעיף 7

באותו אופן כמו סעיף קודם:

ולכן:

סעיף 8

אם הוא כיוון ראשי של טנזור העיבורים, מתקיים:

ולכן, מהגדרת טנזור העיבורים:

הביטוי שמצאנו בסעיף קודם נכון לכל נקודה בגוף, כך ש:

נוכל להציב בחזרה במשוואה כי טנזור גרדיאנט ההזזה זהה בכל הגוף:

סעיף 9

השינוי היחסי בשטח של כל אחד מהמשולשים נתון ע”י:

נסכום ונקבל:

חלק ב’

סעיף 10

מדג”ח חיצוני זריז קל למצוא את התגובה בריתום לפיתול:

לכן, המומנט פיתול הפנימי (מחתך חיובי בכל נקודה על הקורה ):

כלומר, הוא קבוע לאורך החתך.

סעיף 11

נרצה למצוא את העומסים הפועלים על הקורה .

חתך על , סמוך לנקודה .

משיקולי שיווי משקל:

על יופעל ב- העומסים המנוגדים בכיוונם:

חתך על סמוך לנקודה .

ניתן לראות שלא פועל שום עומס בכיוון . בנוסף, חתך הקורה סימטרי , כך שהפיתול לא מזיז את הנקודה במרכז החתך. לכן, התזוזה היחידה במרכז החתך תהיה בכיוון .

סעיף 12

חתך חיובי באמצע הקורה .

מדג”ח חיצוני:

לכן, משיקולי שיווי משקל:

מטבלת שקיעות, מקרה :

כאשר קבענו את הסימן לפי היגיון (הכוח פועל למטה, החתך יזוז למטה). לפיכך:

סעיף 13

הכוח הוא העומס היחיד שתורם לשקיעה . לפי קשרים דיפרנציאליים לשקיעה, מתקיים ולכן:

לכן מקדם :

סעיף 14

בריתום אין תזוזה וסיבוב, ולכן נוכל להציב את תנאי ההתחלה:

בסוף , יש מומנט כפיפה , ולכן:

נציב כדי לקבל את השקיעה:

נציב :

ולכן:

סעיף 15

דג”ח בחתך בזווית על הקורה העקומה.

מסכום מומנטים בכיוון :

ולכן הגודל:

סעיף 16

נפעל בשיטות אנרגיה. האנרגיה האגורה בפיתול נתונה ע”י:

לפי המשפט השני של קסטיליאנו:

במקרה שלנו, . לכן:

ולכן:

סעיף 17

נפרק למקרים, פעם כאשר רק גמיש, ופעם כאשר רק גמיש.
כאשר רק גמיש, נקודה שוקעת בשיעור של , ולכן גם נקודה תשקע בשיעור זה. בגלל הפיתול, חתך גם מסתובב, וסיבוב זה גם יגרום לתזוזה בנקודה .
כאשר רק גמיש, נתון כבר שהשקיעה היא .
לכן, השקיעה שלנו בנקודה תראה מהצורה:

כאשר היא התזוזה כתוצאה מסיבוב נקודה . כדי למצוא אותה, נמצא כמה הסתובב, ע”י משוואות פיתול-זווית פיתול:

לכן, נקודה זזה (לפי הנחת זוויות קטנות) בשיעור של:

לפיכך:

סעיף 18

חתך ב-, סמוך לנקודה .

ללא הסמך, נקודה שוקעת בשיעור של . עם הסמך, הבעיה כבר לא מסוימת סטטית, והתגובות בריתום משתנות ל:

ולכן (ממשוואות שיווי משקל):

נוכל לדרוש שהשקיעה ב- היא אפסית. מטבלת שקיעות, מקרה ו- (את הסימנים נקבע לפי היגיון):

יצא לנו ש- , ולכן:

סעיף 19

כוח הגזירה עדיין קבוע לאורך הקורה. מסעיף קודם אנו ידועים ש:

נמצא את השקיעה לאורך הקורה לפי קשרים דיפרנציאליים:

בריתום אין תזוזה וסיבוב, ולכן נוכל להציב את תנאי ההתחלה:

בסוף , יש מומנט כפיפה , ולכן:

נקבל שהשקיעה לאורך הקורה היא:

ולכן:

סעיף 20

המאמץ לאורך הקורה נתון ע”י:

לא קיים כוח נורמלי ומומנט במקרה שלנו, ולכן:

לכן, נקבל מקסימלי כאשר מקסימלי, ו- מקסימלי. מסעיפים קודמים, ומגאומטריית החתך, הערכים המקסימליים הם:

ולכן המאמץ המקסימלי הוא:

טנזור האינרציה של חתך עגול דק דופן נתון ע”י:

ולכן:

סעיף 21

מאמץ הגזירה במקרה שלנו נתון ע”י:

סעיף 22

בנקודה ישנו מומנט פיתול פנימי בכיוון החיובי של ובגודל . לפי משוואת דיפורמציית פיתול:

מאמץ הגזירה כתוצאה מהפיתול הפנימי.

מתקיים , ולכן תמיד חיובי. מהחתך ששרטטנו, אנו רואים כי הוקטור בשתי הנקודות רק בכיוון - פעם שלילי ופעם חיובי. לכן:

סעיף 23

הנקודות ו- הן שפות חופשיות, כי הם יוצרות קו סימטריה, והכוח היחיד, , עובר בהן. לכן נוכל לחשב את של נקודות ו- מהן:

תת חתכים מנקודות ל-.

בשני החתכים מרכז הכובד של התת-חתך נמצא באותו הצד של ציר , ולכן הם בעלי אותו הסימן. מסימטריה, הם בעלי אותו הגודל, ולכן:

נציב בביטוי עבור , כאשר נזכור ש- ו- :

כדי לחלץ את , נביט שוב בחתך ששרטטנו. נשים לב שגם ב- וגם ב-, הוקטור הוא רק בכיוון החיובי של . לכן:

ולכן הסכום:

סעיף 24

נמצא את טנזור המאמצים בנקודה . אנו כבר יודעים ש- . בנוסף, מסעיף 22, אנו יודעים ש- . נחשב את :

לכן טנזור המאמצים הוא:

נרצה למצוא את המאמצים הראשיים:

לכן המאמצים הראשיים הם:

נתון כי תחת מאמצים אלו התרחשה כניעה לפי טרסקה. לכן:

סעיף 25

הכיוון של מד העיבור הוא . אנו יודעים כבר את בנקודה זו, וגם ש- . לכן, לפי חוק הוק המוכלל:

ולכן:

סעיף 26

נמצא את :

הכיוון הנתון הוא . נרצה למצוא את העיבור בכיוון זה:

שאר הרכיבים מתאפסים כי . נותר לנו למצוא את ו-. לפי חוק הוק המוכלל:

נציב בחזרה ב-:

ולכן: