SLD2_E2015WA 2015 חורף מועד א

שאלה 1

סעיף 1

נבצע מכפלה סקלרית:

לא קיבלנו , ולכן הם לא ניצבים זה לזה.

סעיף 2

נמצא את כיוון :

לפי זווית בין שני וקטורים:

סעיף 3

נשים לב כי הוקטורים נמצאים כולם על מישור , ולכן כולם ניצבים לשפה החופשית . עם הנתון רק על השפה החופשית אנו יכולים להסיק כי טנזור המאמצים הוא מהצורה:

לכן, לפי חוק הוק המוכלל:

מהנתונים על העיבורים בכיווני הוקטורים אנו יכולים למצוא את איברי טנזור העיבור. עבור :

עבור :

עבור נקבל משהו מאוד דומה:

מחיסור שתי המשוואות נקבל:

ולכן:

לפיכך, אנחנו במערכת ראשית של טנזור העיבורים, כך ש- הוא העיבור המקסימלי.

סעיף 4

כבר חישבנו בסעיף הקודם:

סעיף 5

טנזור העיבורים שלנו כעת:

נשתמש בשינוי הזווית בין שני סיבים ניצבים:

עוד דרך שניתן להסביר זאת הוא ש- היא שפה חופשית, כך שאין בה גם מאמצי גזירה, ולפיכך גם לא יהיו בה זוויות גזירה, לא משנה באיזה אוריינטציה.

סעיף 6

סיב הניצב ל- על גבי השפה החופשית הוא למשל:

שוב, לפי שינוי הזווית בין שני סיבים ניצבים:

לכן זווית הגזירה תהיה:

סעיף 7

נמצא את ו- מטנזור העיבור שבנינו מקודם:

נחבר בין שתי המשוואות, כאשר נכפיל ב- את הראשונה:

נציב :

נציב במשוואה הראשונה:

ולכן:

סעיף 8

לפי שינוי שטח יחסי:

סעיף 9

אנו כעת יודעים שטנזור המאמצים שלנו הוא מהצורה:

נמצא את לפי קשרי מאמץ עיבור:

נציב את כל הנתונים ונקבל:

ולכן המאמץ הראשי המקסימלי הוא וערכו:

שאלה 2

סעיף 10

כן, כי הוא סימטרי לפי האלכסון וציר הניצב לו.

סעיף 11

כן, כי במקרה זה לפחות ציר סימטרי אחד מתלכד עם אחד מהצירים שלנו.

סעיף 12

קטע ושתי מערכות הצירים הרלוונטיות.

במערכת הראשית שלו, טנזור האינרציה של :

נסובב ב-, עם כיוון השעון:

סעיף 13

נסובב את רכיב :

ולכן:

סעיף 14

צלעות ו- תורמות את אותם ערכי ו- למומנט האינרציה של החתך במרכז השטח שלו. באותו אופן עבור ו-.
לכן, ללא האלכסונים:

עבור האלכסונים, נקבל פשוט פי מהתוצאות בסעיפים הקודמים:

ולכן טנזור האינרציה של כלל החתך:

נמצא את המערכת הראשית:

סעיף 15

אנו רוצים לעבוד במערכת ראשית, ולכן נסובב את מערכת הצירים שלנו ב- סביב ציר , כך שכעת . במערכת זו מתקיים ו- .

מערכת הצירים החדשה.

נמצא את הכוחות הפנימיים באמצע החתך.

חתך שלילי באמצע הקורה, במישור .

משקול כוחות:

באותו אופן נוכל גם לקבל ש:

לפי מאמץ נורמלי בכפיפה משופעת:

לפי המערכת החדשה הנקודה נתונה ע”י:

ולכן, בנקודה :

סעיף 16

בקורה זו אנו יכולים להניח כי . לכן העיבור ב- (לפי קשרי מאמץ עיבור):

נציב את (שתלוי ב-) מסעיף קודם (נשים לב גם כי כי לא לא השתנה):

נסכום את כל העיבורים הנ”ל:

ולכן:

סעיף 17

לפי מאמצי גזירה בכפיפה:

נמצא את ו-:

התת-חתך עד נקודה , והמאמצי גזירה המתפתחים בו.

נידרש קודם למצוא את מרכז הכובד של התת-חתך:

ולכן:

ולכן מאמץ הגזירה:

ולכן גודלו:

סעיף 18

הוקטור מסעיף קודם יצא לנו שלילי. כלומר, הכיוון שלו הוא הפוך לכיוון בו שרטטנו אותו, ולכן כיוון מאמץ הגזירה הוא מ- ל- (תאכלס לא באמת שרטטנו את , אבל אם היינו ממשיכים טיפה את השרטוט הקודם, היינו מקבלים את התוצאה הזאת).

סעיף 19

בשום שלב לאורך מרכז הכובד של התת-חתך מתלכד בחזרה עם מרכז הכובד של החתך (אפילו לא עם אחד מהצירים). לכן , כך ש- .

שאלה 3

סעיף 20

מטבלת שקיעות, מקרה ניתן לראות כי:

ולכן:

סעיף 21

מאותו מקרה בטבלת שקיעות ניתן גם לראות שחתך הסתובב:

ולכן התזוזה בנקודה (מהנחת זוויות קטנות):

סעיף 22

קריסה - לא בחומר.

סעיף 23

ללא הסמך, נקודה זזה בכיוון :

תזוזת הקורה כתוצאה מהכוח המפורש.

נסיק כי מהוספת הסמך, התגובה בכיוון :

דג”ח חיצוני.

מהריתום, המומנט שיוצרת התגובה בסמך בכיוון הפוך מאשר המומנט שיוצר הכוח המפורש, ולכן הוא מקטין את המומנט בריתום.

סעיף 24

נפעל בשיטות אנרגיה. משיקולי כוחות:

דג”ח שלילי בזווית , בקטע .

לכן המומנט הפנימי נתון ע”י:

דג”ח שלילי, בקטע .

משיקולי כוחות:

לפי המשפט השני של קסטיליאנו:

בסמך נייד אין תזוזה בכיוון הנורמלי אליו, ולכן :

ולכן:

סעיף 25

מומנט מדומה ב-:

חתך שלילי חדש לאחר הוספת המומנט המדומה.

במקרה המומנט הפנימי יהיה נתון ע”י:

המומנט הפנימי ב- לא תלוי ב- ולכן לא יתרום לזווית. ממשפט קסטיליאנו השני:

נציב :

ולכן:

סעיף 26

גודל הריאקציה ישתנה - המומנט הפנימי לאורך הקורה ישתנה ולכן לפי המשפט השני של קסטיליאנו נצטרך לשנות את גודל הריאקציה כדי שהתזוזה האופקית ב- לא תשתנה.

תפזורת

סעיף 27

שניהם נכונים לפי טנזור ההיענות.

סעיף 28

ניתן לפתור בשלילה. לא יודע איך להוכיח.