פנגייה

SLD2_010 שקיעה של קורות

מבוא

מהספר של ליפשיץ:

עומס חיצוני הפועל על קורה גורם לדפורמציה המתבטאת ב’שקיעת’ הקורה בין הסמכים התומכים בה. כל עוד דנים בבעיות סטטיות מסוימות אפשר לפתור הבעיה ולחשב מאמצים, מבלי להתייחס לדפורמציות. אבל גם במקרים אלו לא תמיד התכן מתבסס רק על מאמצים . יש מקרים בהם ידיעת הדפורמציות חיונית ועל פיה נקבעים ממדי הקורה (או כל אלמנט מבנה אחר).

להלן מספר דוגמאות:

  • חלקי מכונה עמוסים סובלים דפורמציות. יש לוודא כי הדפורמציות לא יגרמו לאי התאמות בין החלקים עד כדי גרימת הפרעות בסיבוב ציר או נעילה.
  • כנף מטוס צריכה להיות מספיק קשיחה כדי שקצה הכנף לא יפגע בקרקע בעת ההמראה.
  • להבי טורבינות הסובבים בתוך מיכל גלילי מתארכים ועשויים לפגוע במיכל אם לא נוודא שהדפורמציות יהיו בגבולות המותר.
  • גם אם רצפת אולם הייתה מחזיקה מעמד מבחינת המאמצים המתפתחים בה, לא נוכל להרשות ששקיעתה תהיה גדולה. מצב כזה לא רצוי הן מהבחינה המעשית (העמדת רהיטים, שטיפת רצפות) והן מהבחינה הפסיכולוגית.

הערה:

במסגרת הקורס נדון בעומסים הגורמים למאמצים בתחום האלסטי לינארי. השקיעה המקסימלית לא תעלה בד”כ על אחוז או שניים מאורך הקורה. השינויים הגיאומטריים החלים בקורה העמוסה יהיו זניחים וכל החישובים (כגון מהלך המומנטים) יערכו ביחס לגיאומטרית הקורה לפני העמסתה. השקיעה שתחושב היא שקיעת המשטח הניטרלי - המשטח החופשי ממאמצי מתיחה/לחיצה. הדפורמציות בעובי הקורה זניחות.

קשרים דיפרנציאליים לשקיעה

ההנחה הבסיסית בחישוב שקיעות היא הנחת אוילר-ברנולי אשר היוותה יסוד לפיתוח נוסחת הכפיפה. אם פועל גם כוח גזירה, הנחת אוילר ברנולי מאבדת קצת מדיוקה, היות וחתכים מישוריים מתעוותים קמעה ומאבדים את מישוריותם. עם זאת הבעיה זניחה ברוב המקרים המעשיים של קורות תמירות ולכן נוכל להמשיך להיעזר בהנחה זו.

נביט במקטע באורך (לפני הדיפורמציה) בקורה הנמצאת תחת כפיפה משופעת:

הערות על הדג"ח

  1. הציר המקווקו העבור בקורה הוא הציר הניטרלי (כאשר אנו מניחים כי אין כוח צירי, ואז הציר הניטרלי עובר דרך ראשית הצירים).
  2. אנו מניחים כי העומס היחיד שפועל על הקורה הוא .
  3. אנו מניחים כי אנו עובדים במערכת ראשית עבור חתך בכיוון .

נרצה למצוא את העיבור בכיוון , כלומר את .
מהדג”ח, אורך הקשת של הציר הניטרלי:

בנוסף, נסמן את אורך הקשת של סיב חומרי שכיוונו במרחק מהציר הניטרלי ב-. אזי:

ולכן:

נקרא ל- רדיוס העקמומיות, ונסמן:

ל- (kappa) נקרא עקמומיות.
ניתן להראות (יעני אין לנו כוח להוכיח) שהעקמומיות של גרף מסוים נתון ע”י:

במקרה שלנו, הגרף הוא הזזות בכיוון , כלומר, .

לתזוזות אילו שמתרחשות עקב מומנטים, נקרא שקיעה.
נוכל כעת לרשום את במונחים של הזזות:

אנו דנים בקורות שחווות דיפרומציות קטנות. כלומר, שמתאר סיבוב של סיב חומרי שהיה בכיוון לכיוון , זניח ביחס לגודל שנמצא במכנה. לכן:

נציב את ב-:

מכפיפה משופעת, נזכור כי כאשר אנו במערכת ראשית:

לפי קשרי מאמץ עיבור:

נציב את , ונקבל קשר בין המומנט שאנו מפעילים, לבין התזוזה של הקורה:

באותו אופן, אם היה רק , היינו מקבלים:

אם נגזור את משוואות אלו לפי , וניעזר בקשרים דיפרנציאליים, נקבל:

נוכל להמשיך להיעזר בקשרים הדיפרנציאליים כדי לקבל:

הערה:

ניתן לראות שעם פעולת הגזירה, אנו מקבלים ביטויים שפגשנו בעבר:

כאשר היא פעולת הגזירה .
הנגזרת הראשונה של השקיעה היא הזווית .

דוגמה:

נחשב את “קו השקיעות” של הקורה.
לפי הנוסחאות שלנו:

אז נמצא את בעזרת שיקולים ממוצקים 1. לאחר שאנו מבצעים את הדג”ח על כל הקורה, נראה כי בסמך אין ריאקציה בכיוון , והריאקציות האחרות נתונות ע”י:

כאשר שניהם פועלים כלפי מעלה. כעת נחשב את מומנט הכפיפה בכל חתך. נבצע חתך חיובי:

לפי שקול מומנטים בכיוון :

לפי הקשרי מומנט-הזזה שפיתחנו, נמצא כי כי:

נבצע אינטגרציה פעמיים:

התנאי שפה על :

ולכן:

נראה כעת דרך אחרת. נרצה לחשב לפי הקשר הדיפרנציאלי:

מאחר ובמקרה שלנו:

נוכל פשוט ולהציב למצוא כי:

יש לנו כעת 4 קבועים שנרצה למצוא בעזרת תנאי שפה. נוכל לבדוק את התנאים הבאים:

בכל קצה, ניתן לבחור תנאי אחד מכל צבע. כלומר, לא נוכל לבחור גם וגם כתנאי שפה באותו הקצה, כי אחד מהם הוא פעולה ואחד מהם תגובה - לא נוכל לאלץ את שניהם.

נבחר בקצה השמאלי:

נבחר בקצה הימני:

ונקבל כי:

דוגמה:

מצאו את התגובות בבעיה הבאה:

הפעם, הבעיה לא מסוימת סטטית. חוץ מהעובדה שבריתום לקורה כוח התגובה בכיוון מתאפס, לא נוכל לחשב בצורה ישירה את התגובות האחרות כמו בדוגמה הקודמת. ניאלץ להשתמש בנוסחה:

כמו שראינו בדרך השנייה בדוגמה הקודמת.
כאשר נחשב את קו השקיעות, נקבל פתרון מהצורה הבאה:

עם הפתרון הזה, אנו למעשה נוכל לחשב כעת את התגובות בסמכים, שלא יכלנו לפני זה מאחר והבעיה לא מסוימת סטטית (חיצונית).
נשרטט דג”ח חיצוני:

כאשר נבצע חתך שלילי סמוך לנקודה , יהיה לנו קל לראות כי:

לפי הקשרים הדיפרנציאליים לשקיעה:

אבל אנחנו כבר יודעים את . נוכל פשוט לגזור ולהציב (קודם לגזור ואז להציב!) כדי למצוא כי:

מחתך סמוך לריתום:

מהקשרים הדיפרנציאליים, נוכל לגזור את ולהציב כדי לקבל ש:

תרגיל:
השווה את שקיעת קצה הקורה הנתונה לעמיסות הבאות:

פתרון:
נשים לב שלכאורה, הקורה אמורה לחוות את אותם העומסים, כי העומסים החיצוניים אקוויולנטיים. אבל כבר ראינו בפרקים קודמים שזה לא בהכרח נכון.

נביט במקרה הראשון של כוח מפורש. חתך שלילי:

משקול מומנטים סביב החתך:

מהקשרים הדיפרנציאליים:

הערה:

ישנם ספרויות שמגדירים:

נמשיך להשתמש בסימון זה בחלק מהתרגילים כדי להרגיל לשני הסימונים.

נסיק כי:

בריתום, אין לנו תזוזה או שינויים בזווית שלה. נוכל לרשום מזה שני תנאי שפה:

נסיק כי:

השקיעה בקצה הקורה:

במקרה השני של כוח מרוכז, נבצע חתך חיובי. בקטע :

משקול מומנטים סביב החתך:

מקשרים דיפרנציאליים:

נציב ונקבל:

מתנא שפה בריתום:

ולכן:

בקצה:

נעבור לחתך שלילי בקטע :

משקול מומנטים סביב החתך:

מקשרים דיפרנציאליים:

אנו יודעים שפונקציית השקיעה תהיה רציפה לאורך כל הקורה. נוכל להיעזר ב- שחישבנו ב-, ולבנות מכך תנאי שפה:

מפתרון מערכת המשוואות הזאת נקבל:

בקצה:

קיבלנו כי יש השקיעה שלנו בתחילת הקורה היא בצורה פרבולית (עקמומה) וממחצית הקורה, היא ליאנרית. ניתן לראות זאת מכך שהעקמומיות פרופורציונלית למומנט, ומהחתך אחרי אין בכלל מומנט.

תרגיל:
מהו המומנט שמפעיל הקפיץ בבעיה הבאה?

פתרון:
המומנט שפקיץ פיתול מפעיל נתון ע”י:

נרצה למצוא את השינוי בזווית כתוצאה מהפעלת העומס . מהיבט קצר על המבנה, נסיק כי מהריתום עד למחיצתה, קיים מומנט פנימי בקורה ולכן השקיעה בקטע זה בעל עקמומיות.
במחצית השנייה של הקורה אין מומנט, ולכן השקיעה תהיה לינארית - העקמומיות אפסית.

בתרגיל קודם ראינו ש- ייצור זווית שלילית במערכת צירים שלנו, כי היא הסיבוב של סיב חומרי שהיה ב- לכיוון . הבחנה זו חשובה עבור הפיצול הבא שנעשה:

נפרק את הבעיה לשניים, ואז נבצע סופרפוזיציה על הפתרון.

במקרה , אנו מסמנים עבור המומנט, בגלל הצורה בה סימנו את זווית (המומנט יהיה חיובי עבור זווית שלילית).

את מקרה נוכל לפתור בעזרת טבלת שקיעות. נשים לב כי אנו רוצים למצוא את זווית :

מאחר ואנו יודעים שהשקיעה לינארית בחצי החופשי של הקורה, נסיק כי הסיבוב באמצע הקורה ובקצה שלה זהים:

בטבלה הבעיה מופיעה במערכת צירים שונה, לכן נתייחס רק לגדלים שמופיעים שם, ועבור הסימן נמצא ע”פ אינטואיציה:

את מקרה נוכל לפתור גם כן בעזרת טבלת שקיעות:

נסכום ע”פ סופרפוזיציה:

מחוק הוק עבור הקפיץ שרשמנו בהתחלה:

קצת אלגברה ונקבל:

השקיעה הרלוונטית:

נשים לב כי כאשר :

הקפיץ כאילו לא קיים, ולכן קו השקיעה יהיה:

כאשר :

מאחר וכעת הקפיץ מתנהג כמו ריתום, לא תשתנה הזווית בקצה, ונקבל שם .