ל- אנו קוראים טנזור הטרנספורמציה, שזה בעצם מטריצת מעבר. בטנזור זה יש את המידע לגבי האוריינטציה (זווית) בין 2 מערכות הצירים, .
הערות:
טנזור הטרנספורמציה לא בהכרח סימטרי!
ניתן גם לבצע טרנספורמציה הפוכה, בעזרת הטנזור ההופכי, , כאשר:
טרנספורמציה הפוכה
נהפוך את הסימונים שלנו (ממשוואה ):
ונסיק כי:
בנוסף, טנזור הטרנספורמציה, כמו מטריצת המעבר, הפיך, וההופכי שלו הוא השחלוף שלו, :
לכן:
הגענו למסקנה שטנזור הטרנספורמציה הוא מטריצה מיוחדת, שהשחלוף שלה שווה להופכי שלה:
לטנזור/מטריצה כזאת אנו אומרים שהוא אורתונורמלי.
אינווריאנט
מאוד בדומה לשמורת דמיון, לטנזור מסדר שני שביצעו עליו טרנספורמציה קיימים אינווריאנטים - ערך שלא משתנה גם לאחר הטרנספורמציה.
האינוורינטים הבאים נכונים עבור טנזור סימטרי - בינהם טנזור המאמץ.
משפט:
אינווריאנט העקבה:
אינווריאנט שני:
אינווריאנט הדטרמיננטה:
אינווריאנט נוסף שלפעמים מוזכר הוא:
תרגיל:
מצאו את הקבועים:
פתרון:
מסימטריות טנזור המאמץ נמצא כי:
ולכן:
מאחר וה- הוא אינווריאנט, אז מתקיים:
בנוסף, מתקיים לפי האינווריאנט השלישי:
לפי אינווריאנט שני:
ולכן:
טרנספורמציה של טנזור המאמץ
אנו יודעים כי:
אם אנחנו רוצים לייצג אותו במערכת :
מהנוסחאות שפיתחנו מקודם:
נציב במשוואה שרשמנו בהתחלה:
ממשוואה נוכל להסיק כי הביטוי לפני הוא . נרשום בצורת :
זה כמו דמיון מטריצות.
נזכור ש- הוא גם שחלוף של , ולכן:
דוגמה:
במקרה הדו מימדי:
נבצע טרנספורמציה של טנזור המאמץ במישור . במצב זה הרכיב לא ישתנה כי בעצמו לא ישתנה, כלומר .
תרגיל
נתונה פלטה (גוף דו-מימדי) בעלת קדח במרכזה. שפת הקדח הינה שפה חופשית. נקודה נמצאת על שפת הקדח בזווית של ביחס ל-.
בנקודה על מישור שכיוונו קיים מאמץ נורמלי בשיעור .
מהו המאמץ הנורמלי על מישור שכיוונו בנקודה ? פתרון:
נסובב את המערכת:
מהנתון על השפה החופשית אנו יודעים כי:
הטנזור שלנו לאחר הסיבוב הוא בעל צורה כללית:
ומהנוסחה לוקטור מאמץ:
ולכן הטנזור שלנו:
אז מתקיים:
מהו מאמץ הגזירה על מישור שכיוונו ? פתרון:
מהו המאמץ הנורמלי המקסימלי הפועל בנקודה ? פתרון:
נשים לב כי המערכת היא מערכת ראשית. לכן המאמץ המקסימלי הוא או או .
נבטא את במערכת :
הנוסחה לחישוב מאמץ נורמלי:
אנחנו יודעים ש-, ולכן מתקיים:
אזי:
על איזה מישור פעול מאמץ הגזירה המקסימלי בנקודה ? הבע את תשובתך במערכת . פתרון:
מסעיף קודם: