SLD1_003 מסבכים, מסגרות ומכונות

מסבכים

מסבך הוא מבנה שמורכב ממוטות/אלמנטים/דגמים ישרים המחוברים בקצותיהם.

כאשר כל המרכיבים של המסבך נחים על מישור יחיד, המסבך נקרא מסבך מישורי.

מסבך מישורי פשוט

המרכיב הפשוט יותר במסבך מישורי הוא המשולש - שלושה מוטות שמחוברים בקצוותיהם:

מבנה זה קשיח - לא ניתן למחיצה, ודפורמציה של מרכיביו מלחצים פנימיים זניחה.
לעומת זאת, מבנה של ארבעה מוטות בצורת מרובע הוא לא מבנה קשיח:

מסבך שכולו מורכב מתת-מבנים משולשים נקרא מסבך פשוט.
במסבך פשוט:

1. המוטות מחוברים בצמתים בעזרת פרקים (צירים) חסרי חיכוך.
2. המבנה מועמס (כוחות חיצוניים) על הצמתים בלבד.

אנו מניחים כי משקל המוטות זניח ביחס לכוחות החיצוניים.
בנוסף, אנו מניחים שכל מוט במסבך פשוט הוא two force member (TFM) - כלומר הם נמצאים בשיווי משקל כאשר רק שני כוחות פועלים עליהם:

משיקולי כוחות, מוט במסבך פשוט יכל להיות או במתיחה או בלחיצה:

כוחות אלו הם עומסים חיצוניים המופעלים על החיבורים בקצוות המוט, אך למעשה הם פועלים לאורך כל המוט.

שיטת הצמתים

שיטת הצמתים היא שיטה למציאת הכוחות במרכיבי סבך כך שמתקיים שיווי משקל על צמתי/מפרקי המסבך. למשל, עבור המסבך הבא:

נשרטט את הדג”ח במפרק השמאלי התחתון:


כעת, מחישוב , ניתן לחשב את ממשוואות שיווי משקל:

נוכל לעבור לכל צומת שבה אנו יודעים את הכוח בכיוון אחד, אך לא יודעים את הכוחות בלכל היותר שני כיוונים אחרים. לכל שאר הצמתים:

הערות:

1. מוט TFM יכל לשאת עומס רק בכיוון שלו.
2. במתיחה, הכוח “יוצא” מהצומת ובלחיצה הכוח “נכנס” אל הצומת.
3. נניח תמיד המוט במתיחה כדי להיות עקביים בסימונים.

שיטת החתכים

כאשר חוקרים מסבך מישורי בשיטת הצמתים אנו משתמשים רק בשניים משלושת משוואות שיווי המשקל - הרי משוואת המומנט לא תורמת לנו.
שיטת החתכים ניעזרת במשוואה השלישית, משוואת המומנט, כאשר אנו בוחרים בחלק מהמבנה כהמערכת שלנו וממשרטטים את הדג”ח מחדש, למשל:

ע”י חישוב הכוחות החיצוניים על המבנה הכללי , ניתן לחשב את הכוחות ע”י שיווי משקל מומנטים סביב הנקודות בהתאמה. את הכוח ניתן לחשב ע”י שיווי משקל כוחות.

מסוימות סטטית במסבכים

בעזרת שיטת הצמתים, קל להסיק את המסוימות סטטית הכללית במסבכים.

באופן כללי, כאשר מתחשבים בכלל הנעלמים והמשוואות במערכת, אם יש יותר נעלמים ממשוואות, המבנה לא מסוים סטטית כללית.
במסבך, כל צומת נותנת לנו שתי משוואות. אז אם יש לנו צמתים, יש לנו משוואות. כל מוט הוא נעלם - נסמן את כמות המוטות ב-. ישנם גם את כל כוחות התגובה שאנו לא יודעים, והם גם נחשבים נעלמים שנסמנם ב-.
יש לנו גם את משוואות השיווי משקל - 3 משוואות במישור ו-6 משוואות במרחב.
נסיק כי במישור:

• אם , יש לנו מבנה מסוים סטטית כללית.
• אם המבנה לא מסוים סטטית (לא כללית, לא חיצונית).
• אם , המבנה לא יציב - יש יותר משוואות מנעלמים. מבחינה מתמטית, אין פתרון, כלומר אין קומיבנציה של הנעלמים שתביא לכך ששקול הכוחות יהיה אפס לפי דרישת המשוואות. מכך נובע כי שקול הכוחות לא אפס, כלומר המבנה לא יציב.

תרגילים:

1. נתון:
   
   פתרון:
   • שיטת הצמתים:
     
     נחשב סביב צומת : והמוט : נסיק כי בלחיצה ו- במתיחה.
     באותו אופן נחשב סביב ציר :
     • לפי שיטת החתכים:
       
       מומנט סביב :

מסגרות ומכונות

מבנה נקרא מסגרת או מכונה אם לפחות אחד מהמוטות שלו הוא multi force member (MFM) (לעומת מסבך בו כל מוט הוא TFM). הכוונה במוט כזה היא ששלושה או יותר כוחות פועלים עליו, או לפחות שני כוחות ומומנט טהור אחד.

מסגרות הן מבנים שבנויים כך שהם יכולים לתמוך בעומסים כאשר המסגרת עצמה רתומה למקום קבוע.
מכונות הן מבנים שמכילים חלקים נעים ובנויים כדי להמיר כוחות ומומנטים מסוימים לכוחות ומומנטים שונים.

כיוון שמסגרות ומכונות חייבים להכיל MFM, הכוחות במוטות אלו לא יהיו בהכרח בכיוון המוטות. בעקבות כך לא נוכל לחקור את המבנים האלו ע”י שיטת הצמתים או שיטת החתכים (לפחות לא ישירות). לכן, נצטרך לחזור בחזרה לחקירת המערכת ע”י שרטוט דג”ח עבור כל אלמנט שנרצה לדעת את הכוחות הפועלים בו.

דוגמאות:

1. נתונה המערכת הבאה:
   
   מסגרת זו תומכת ב-. חשבו את המרכיבים האנכיים והאופקיים של כל הכוחות הפועלים על כל המוטות.
   פתרון:
   נשים לב כי אנו יכולים לחשב את הכוחות החיצוניים:
   
   ממשוואות שיווי משקל:

כעת נוכל לחשב את הכוחות שפועלים על המוטות. נשרטט דג”ח פנימי:

קל לראות כי הוא TFM. כלומר, לתגובות על יש גדלים שווים וכיוונים מנוגדים. אנו לא בהכרח יודעים את הכיוון שלהם, אז שרירותית נשרטט את הכיוון שלהם ונשים לב שאנו עקביים עם הכיוונים בשרטוט הדג”חים הבאים (כבר משורטט באיור הקודם). משקול כוחות:

נשים לב שהכוחות שקיבלנו חיוביים ולכן כיוונם הוא כפי שמופיע בשרטוט.

תרגילים:

1. נתון:
   
   פתרון:
   נשרטט דג”ח על גלגלת :
   
   לפי שיווי משקל: כעת נביט בצומת :
   
   משיווי משקל: מהתבוננות קצרה על צומת נשים לב כי מאונך ל- ו- ולכן הוא מוט אפס. מכך נסיק כי:
2. נתון:
   
   פתרון:
   נשרטט דג”ח חיצוני:
   
   נבצע שקול מומנטים על : קל לראות משקול כוחות חיצוני כי . נבצע שקול כוחות בכיוון : נשרטט דג”ח:
   
   נבצע שקול מומנטים על :