NUM1_HW002 תרגיל בית 2

תרגיל בית 2

	סטודנט א’	סטודנט ב’
שם	עידו פנג בנטוב	ניר קרל
ת”ז	322869140	322437203
דואר אלקטרוני	ido.fang@campus.technion.ac.il	nir.karl@campus.technion.ac.il

תרגיל 1

נתונה מטריצה , כאשר:

סעיף א’

חשב ידנית פירוק LU של בשיטת קרוט.
פתרון:

נקבל כי:

קיבלנו כי:

סעיף ב’

כתוב פונקציה לפירוק LU בשיטת קרוט ובדוק תשובתך לסעיף א’.

• אין להשתמש בפונקציות מובנות.
• מומלץ ליישם את תכנית החישוב כפונקציה ולא כתוכנית ראשית (main) משום שנשתמש בה בהמשך הלימודים.

פתרון:

A=[4, -4, -8, -16;  
    -4, 7, 14, 25;  
    4, -7, -12, -17;  
    -4, 7, 12, 18];
 
[L,U] = LUDecompCrout(A);
 
function [L,U] = LUDecompCrout(A)  
    n = length(A);  
    L = zeros(n);  
    U = zeros(n);  
     
    for i = 1:n  
        U(i,i)=1  
         
        for j = i:n  
            L(j,i)=A(j,i)-L(j,1:i-1)*U(1:i-1, i);  
        end  
        for j = i+1:n  
            U(i,j)=(A(i,j)-L(i,1:i-1)*U(1:i-1,j))/L(i,i);  
        end  
         
    end  
end

תרגיל 2

נתונה מטריצה :

חשב את הנורמות של המטריצה לפי הגדרה של נורמה משורית ולפי הנוסחה. הראה את כל שלבי החישוב.
פתרון:

- לפי הגדרה של נורמה מושרית:
נגדיר כך ש-

נציב את הנק’ הקריטיות עבור נורמה 1:

ולכן:

- לפי הגדרה של נוסחה:

נחשב את הסכום של כל עמודה, נורמה 1 מייצגת לנו את העמודה בעלת הסכום המקסימלי.

- לפי הגדרה של נורמה מושרית:

נבצע החלפת משתנים:

נגדיר פונקציה חדשה, שנמצא את המקסימום שלה, וממנה נסיק מהו המקסימום של .

- לפי נוסחה:

- לפי הגדרת נורמה מושרית:
נגדיר כך ש-

נוכל כעת להציב בנוסחה:

נציב את נק’ קודקודי ריבוע היחידה -

- לפי נוסחה:
נחשב את הסכום של כל שורה

תרגיל 3

נתונה המערכת .

מצא חסם מלעיל לנורמה של וקטור השארית יחסית לנורמה של וקטור השגיאה היחסית לפי נורמה 1. הראו את כל שלבי החישוב באופן ידני.
פתרון:

קיבלנו שחסם מלעיל הוא . נחשב אותו:

קיבלנו כי:

תרגיל 4

הוכח עבור נורמה 1 כי המקסימום , מתקבל עבור וקטור מהצורה:

כאשר הוא 1 וכל השאר אפסים.
פתרון:
כפי שנלמד בהרצאה:

נסמן ב- את את ה- עבורו הסכום של השורה מקסימלי ואז:

כאשר . נשים לב ש- ולכן הביטוי האחרון תואם את ההגדרה של נורמה מושרית.

תרגיל 5

סעיף א’

הראה כי עבור כל וקטור מתקיימים אי-השוויונים הבאים:

כאשר הינו מימד הוקטור.

פתרון:

• אי השוויון הראשון:
  נניח כי הוא האינדקס של הרכיב בערך מוחלט הכי גדול של : לכן: קיבלנו . נוכיח את הצד השני, כשניעזר באי שוויון הממוצעים: נסכם:
• אי השוויון השני:
  נגדיר את כהרכיב בערך מוחלט הכי גדול של :

סעיף ב’

הוכח כי עבור מטריצה כלשהי מתקיים:

פתרון:
ראשית, נוכיח כי מתקיים:

ביחד עם האי שוויונים שהוכחנו בסעיף א’, נקבל כי:

לפי ההגדרה המושרית של הנורמה של מטריצה:

תרגיל 6

סעיף א’

הוכח כי מתקיים:

פתרון:
מטריצת היחידה כפול כל וקטור שווה ל-וקטור עצמו, לכן נקבל:

סעיף ב’

הוכח כי מתקיים:

פתרון:

סעיף ג’

הוכח שלכל קבוע , מתקיים:

פתרון:
לפי חוקי מטריצה הופכית נקבל ש-
לפי חוקי נורמות נקבל ש-
לכן נקבל: