IMT1_003 המבנה של גבישים

מבנה גבישי

חומרים מוצקים מסווגים לפי הצורה שבה האטומים או יונים מסודרים ביחס אחד לשני. סריג הוא חומר בו האטומים מסודרים בצורה שחוזרת על עצמה לאורך מרחק אטומי גדול. צורה או מבנה זה נקרא מבנה גבישי/סריג.
כל המתכות, הרבה מהקרמיים, וחלק מהפולימרים יוצרים מבנה גבישי.

כאשר מתארים מבנה גבישי, מאוד נוח לחלק את המבנה לאותם תת יחידות החוזרות על עצמן שמרכיבות אותו. לתת יחידות אלו נקרא תא יחידה.

ישנם סוגים רבים של מבנים גבישיים, וכדי לעזור להבדיל בינהם, פותחה שיטה לסווג את המבנים הללו לפי תאי היחידה שלהם. לפי שיטה זו, בונים מערכת צירים , כאשר פינתו היא באחת מפינות התא יחידה. הצורה של התא יחידה נקבעת ע”י 6 פרמטרים סריגיים - עבור אורכי צלעות התא, ו- עבור הזוויות בינהם. לפי הגדרה זו, ישנם 7 קומבינציות שונות של פרמטרים אלו שיוצרים מבנה גבישי ייחודי:

אנו נעסוק ב-3 תאי יחידה קוביים, כלומר כאשר ו-:

1. Simple Cubic

אחד התאי יחידה הפשוטים ביותר נקרא Simple Cubic (SC). בתא יחידה זה ממוקם אטום בכל פינה שלו:

הקשר בין אורך הצלע של התא, , לרדיוס האטום נתון ע”י (אנו מניחים כי כלל האטומים “נוגעים” אחד בשני):

נוסחה:

2. Face-Centered Cubic (FCC)

למבנה הגבישי של מתכות רבות יש תא יחידה קובי, כאשר אטומים ממוקמים בפינת כל תא, ובמרכז כל פאה של התא. מבנה גבישי זה נקרא Face-Centered Cubic או FCC בקיצור. לנחושת, זהב, כסף ואלומיניום יש את המבנה הזה.

הקשר בין אורך הצלע של התא, , לרדיוס האטום נתון ע”י:

נוסחה:

הערות:

1. נשים לב כי עבור מבנה זה, כל אטום פינתי משותף ל-8 תאי יחידה, לעומת האטומים המרכזיים שמשותפים רק ל-2.
2. הפינות ומרכזי הפאות הם מקומות שקולים - העתקה/הזזה של פינה למרכז פאה או ההפך לא תשנה את התא יחידה.

3. Body-Centered Cubic (BCC)

מבנה גבישי שכיח נוסף הוא Body-Centered Cubic (BCC), שגם בתאי יחידה שלו יש אטום בכל פינה. בנוסף, יש לו אטום יחיד במרכז התא. לכרום, ברזל, וטנגסטן ועוד מתכות יש את המבנה הזה.

הקשר בין אורך הצלע של התא, , לרדיוס האטום נתון ע”י:

נוסחה:

הערות:

1. כל אטום פינתי משותף ל-8 תאי יחידה שונים, בעוד האטום המרכזי מוכל כולו בתא יחידה יחיד.
2. מיקומי אטום פינתי ואטום מרכזי שקולים.

מאפייני סריגים

ישנם מספר תכונות לסריגים שנתייחס אליהם:

מספר קואורדינציה

מספר קואורדינציה הוא מספר האטומים הקרובים ביותר/שכנים לאטום מסוים בסריג. למתכות בעיקר, מספר זה זהה לכל אטום.

• עבור SC: לכל אטום יש 6 שכנים - 3 הפינות הקרובות יותר אליו ועוד 3 פינות שנמצאת בתאי היחידה הסמוכים.
• עבור FCC: לכל אטום יש 12 שכנים - 4 פינות בפאה הכי קרובה (אלינו, לפי האיור), עוד 4 במרכז כל פאה (חוץ מהפאה האחורית), ועוד 4 בתאי היחידה הסמוכים.
• עבור BCC: לכל אטום יש 8 שכנים - לאטום המרכזי 8 אטומים בכל פינה.

מקדם אריזה אטומי - APF

ה-APF הוא סכום כלל הנפחים של האטומים בתא היחידה ביחס לנפח תא היחידה:

נוסחה:

כאשר נכון רק עבור סריגים קובים.

לאחר חישוב עבור כל סוג סריג, נקבל:

• עבור SC:
• עבור FCC:
• עבור BCC:

חישוב צפיפות

בהינתן המבנה הגבישי של חומר מסוים, ניתן לחשב את צפיפותו ע”י:

נוסחה:

כאשר הוא מספר האטומים בתא יחידה, הוא המסה המולרית של האטום, הוא נפח תא היחידה, ו- הוא מספר אבוגדרו.

תרגילים:

1. אלומיניום הוא מתכת קלה לסגסוגות לתעופה ובעל סריג קובי. נתונים:
   • צפיפות היא .
   • פרמטר הסריג הוא .
   • מסה מולרית של אלומיניום היא .
     קבעו את סוג הסריג הקובי של אלומיניום.
     פתרון:
     נבודד את מהנוסחה לצפיפות:
   נציב את הנתונים: קיבלנו כי יש 4 אטומים בתא יחידה, ולכן זהו מבנה FCC.
2. פלדות הן סגסוגות ברזל המכילות אחוז מסוים של פחמן. המבנה הגבישי של ברזל בטמפרטורת החדר הינו BCC, אך מעל הוא משתנה ל-FCC. פרמטר הסריג של ברזל בטמפרטורת החדר הוא .
   • חשבו את פרמטר הסריג ב- בהנחה שהרדיוס האטומי נשאר קבוע.
     פתרון:
     ידוע כי . נציב , ונסיק כי . כעת נוכל למצוא את :
     • חשבו את צפיפות הברזל ב-, כאשר נתון כי המשקל האטומי של ברזל הוא .
       פתרון:
       נציב את הנתונים ותשובתנו מהסעיף הקודם בנוסחא לחישוב הצפיפות:

נקודות, כיוונים ומישורים בקריסטולוגרפיה

סימונים
נקודה במרחב:

וקטור - במקום , או , נרשום:

ואם אחד מהערכים שלילי, אז במקום , אז נרשום:

מישורים קריסטולוגרפים

מסומן ע”י שלושה אינדקסי מילר . כדי להבין איזה מישור מדובר, למשל עבור המישור הכללי , נמצא את נקודות החיתוך עם הצירים כך:

אז עבור המישור :

ואז קיבלנו את המישור הבא:

עוד דוגמאות:

הערות:

1. אם המישור חותך את ראשית הצירים , לא נוכל לרשום אותו בצורת . במצב כזה נבחר ראשית צירים אחרת שהמישור לא חותך אותה.
2. במבנים קוביים, וקטורי הכיוון והמישורים בעלי אותם המציינים (הפרמטרים), ניצבים זה לזה. כלומר, למישור , יש את הנורמל .

אחת מהתכונות של סריגים קובים היא שמישורים וכיוונים בעלי אותם מציינים (אינקסים/פרמטרים) הם מקבילים אחד לשני.

סידור אטומי

הסידור האטומי למישור קריסטולוגפרי, תלוי במבנה הגבישי. המישור של FCC ו-BCC:

נשים לב כי האריזה האטומית שונה לכל סריג שונה.
משפחה של מישורים היא כל המישורים ששקולים קריסטולוגרפית, כלומר, בעלי אותה אריזה אטומית. משפחה של מישורים ניתנת לתיאור ע”י המציינים בסוגריים מסולסלים - למשל . במשפחה זו, עבור סריגים קובים, נמצאים המישורים . עבור סריגים לא קובים, אין דרך פשוטה להסיק מהמציינים את המישורים במשפחה.

מרחק בין מישורי הוא המרחק בין מישורים במשפחה מסוימת. במבנה קובי ניתן לחשב אותו בצורה הבאה:

נוסחה:

צפיפות מישורית וקווית

שקילות כיוונית קשורה לצפיפות קווית, במובן שעבור חומר מסוים, לכיוונים שקולים יהיה צפיפות קווית זהה. באותו מובן ניתן ליישם את היגיון זה למישורים שקולים.

צפיפות קווית (LD) מוגדרת כהיחס בין רדיוסי/אורך האטומים לאורך וקטור בכיוון קריסטולוגרפי מסוים שעליו האטומים נחים.

הגדרה:

באותו אופן נוכל להגדיר את הצפיפות המישורית כהיחס בין שטחי האטומים לשטח מישור קריסטולוגרפי מסוים שעליו האטומים נחים.

הגדרה:

פגמים בגבישים

עד עכשיו הנחנו כי יש סדר מושלם לאורך המבנה הגבישי. אך למעשה, מוצק אידיאלי כזה לא קיים - כלל המוצקים מכילים מספר רב של פגמים. למעשה, הרבה מאוד מתכונותיהם של חומרים תלויים בפגמים אילו. נהוג לסווג אותם לפגמים נקודתיים, פגמים קוויים, ופגמים משטחיים:

פגמים נקודתיים

פגם נקודתי הוא פגם שקשור למיקום של אטום יחיד או של שניים.
הפגם הנקודתי הפשוט ביותר הוא היעדרות. כשמו כן הוא - היעדרות של אטום יחיד ממקומו.

באיור ניתן לראות עוד סוג של פגם נקודתי - אטום חדירה עצמי. שני פגמים אלו הם פגמים במבנה עצמו.

ישנם גם פגמים נקודתיים כתוצאה מאטום זר: באטום חדירה, אטום זר ממלא את הריק בין האטומים של הגביש, ואלו אטום החלפה מחליף את אחד האטומים המקוריים של הגביש:

שיווי משקל היעדרויות

ניתן להסביר את הקיום של היעדרויות בעזרת עקרונות התרמודנימיקה - הקיום של היעדרויות מגדיל את האנתרופיה של הגביש. כאשר חומר מסוים בשיווי משקל, מספר ההיעדרויות עבור כמות מסוימת של חומר תלויה וגודלת ככל שהטמפרטורה של החומר עולה:

נוסחה:

כאשר הוא מספר אתרי הסריג ליחידת נפח מסוימת, הוא האנרגיה שדרושה להיווצרות של ההיעדרות, היא הטמפרטורה בקלוין, ו- הוא קבוע בולצמן לגז ().

פגמים קוויים

פגמים קווים, נקראים גם נקעים, הם פגמים חד מימדיים סביבם חלק מהאטומים הוטו (מלשון לנטות) מסדרם. דוגמה לכך היא נקע קצה - פגם בו מישור של אטומים בגביש לפתע מפסיק מקו מסוים - קו שנקרא קו הנקע:

נקע קצה שקו הנקע שלו מאונך למסך.

נקע ניתן להגדיר ע”י שני וקטורים:

1. וקטור קו הנקע (): קו הגבול בין האזור שעבר החלקה ובין האזור שלא עבר החלקה. קו העובר לאורך קצה המישור העודף (במקרה של נקע קצה).
2. וקטור בורגרס (): מציין את כיוון הפעלת המאמץ הגורם להחלקה ואת גודלה וכיוונה של המדרגה שתיווצר כשנקע יצא מהגביש (כיוון התקדמות הנקע).

נשים לב כי בנקע קצה מתקיים:

סוג נוסף של נקע הוא נקע ברגי. ניתן לחשב על נקע זה כהפגם שנוצר כאשר מנסים לעקם על מנת לשבור גביש מסוים:

חלקו העליון של הגביש זז מרחק אטום יחיד לימין לעומת החלק התחתון. נקע זה גם לינארי - הוא מתרחש לאורך קו באיור.

לעומת נקע קצה, בנקע ברגי מתקיים:

רוב הנקעים בחומרים גבישיים הם לא 100% נקע קצה או 100% נקע ברגי - אלא שילוב של שניהם. נקעים אלו נקראים נקעים מעורבים:

החלקה

באזור ליד קו הנקע ישנה תופעה שנקראת החלקה - האטומים בגביש רוצים למלא את היעדרות מישור האטומים מתחת לקו הנקע - ולכן כלל האטומים מחליקים לשיווי משקל חדש היוצר מדרגה בקצה הגביש. המישור עליו האטומים “מחליקים” נקרא מישור ההחלקה.

תנועת הנקע דומה לתנועה של זחל:

הזחל יוצר גיבנת בקצה אחד ע”י משיכה של קצוות רגילו האחוריות. הגיבנת נמשכת קדימה ע”י חזרה של פעולה זו, עד שהיא מגיעה לקצה הקדמי, ובכל הזחל התקדם קדימה. הגיבנת ותנועתה תואמים לחצי מישור אטומים שנוצר מהנקע.

נקעים לא נעים באותה קלות על כל המישורים הקרסיטולוגרפיים של גביש מסוים. לרוב, יש מישור מסוים שהגביש יעדיף - מישור ההחלקה. עבור מבנה קריסטולוגרפי מסוים, מישור ההחלקה הוא המישור בעל הצפיפות המישורית הכי גבוהה.
ניקח לדוגמה, את המבנה FCC:

משפחת המישורים כוללת את כל המישורים בעלי הצפיפות המישורית הכי גבוהה. המישור נתון באיור.

תרגילים:

1. פלדה היא סגסוגת של ברזל עם אחוז נמוך של פחמן. לתוך גביש של ברזל (BCC) בעל פרמטר סריג מוכנס פחמן לאתר בעל הקואורדינטות . קוטר אטום הפחמן הוא .
   • האם זה מהווה פגם חדירה או החלפה?
     פתרון:
     אטום הפחמן נמצא באתר שלא אמור להיות ברזל ולכן זהו פגם חדירה של אטום זר.
     • האם יגרום אטום הפחמן לעיוות הסריג?
       פתרון:
       נחשב את רדיוס אטום הברזל:
     קוטר אטום הפחמן נתון, ממנו נחלץ את הרדיוס: נבדוק האם האטום פחמן מפריע בכיוון . בכיוון זה ישנם שני חצאי קוטר (כלומר, רדיוס) אטומי ברזל, וקוטר אטום פחמן. אורך כיוון זה הוא (לפי פיתגורס). אז אם סכום קוטר אטום הפחמן וקוטר אטום ברזל גדול מאורך זה, אטום הפחמן מפריע בכיוון זה: מכאן שהוא לא מפריע בכיוון זה.
     נבדוק בכיוון , עד מרכז התא. בכיוון זה עד מרכז התא יחידה יש רדיוס אטום ברזל, ורדיוס אטום הפחמן, ואורך כיוון זה עד מרכז האטום הוא : מכאן נסיק כי אטום הפחמן אכן יגרום לעיוות בסריג.
     • בהנחה ונפח תא היחידה נותר קבוע - האם צפיפות החומר תשתנה?
       פתרון:
       נפח התא נשאר קבוע, ולכן קל לראות מהנוסחה לחישוב צפיפות שהצפיפות תעלה - הרי המונה גדל.
2. האם הנקעים הבאים הם מסוג קצה, בורגי או מעורב? מהו מישור החלקה של כל נקע?
   - עבור:
   
   פתרון:
   שני הוקטורים ניצבים אחד לשני ולכן זהו נקע מסוג קצה. נמצא את המכפלה הוקטורית של שניהם, כדי למצוא את הנורמל למישור:
   
   מכאן כי מישור ההחלקה הוא .
   - עבור:
   
   פתרון:
   שני הוקטורים מקבילים אחד לשני ולכן זהו נקע בורגי, ומכאן גם כי מישור החלקה יחיד.
   - עבור:
   
   פתרון:
   שני וקטורים אלו לא מקבילים ולא ניצבים אחד לשני ולכן זהו נקע מעורב. נבצע מכפלה וקטורית:
   
   ולכן מישור ההחלקה הוא .
3. עבור נחושת, קיימים הנתונים הבאים:
   
   - מה מספר ההיעדרויות ליח’ נפח עבור נחושת בטמפרטורה של ?
   פתרון:
   נחשב את מספר תאי יחידה ליחידת נפח. לנחושת מבנה SB, ולכן יש אטום אחד בתא יחידה. לפי צפיפות הנחושת ומשקלה המולקולרי, נוכל לחשב את מספר תאי היחידה ליחידת נפח מסוימת (למשל, עבור ):
   
   מכאן כי:
   
   נציב בנוסחה לשיווי משקל היעדרויות, את הנתונים:
   
   - השווו בין ריכוז ההיעדרויות בנחושת סמוך לנקודת ההיתוך לבין ריכוזן בטמפרטורת החדר.
   פתרון:
   
   - בהנחה שקירור מהיר מקפיא את ריכוז ההיעדרויות בתנאי שיווי-משקל תרמודינמיים, חשבו מאיזו טמפרטורה יש לקרר נחושת באופן מהיר על מנת לקבל ריכוז היעדרויות של בטמפרטורות החדר?