DYN1_009 קינטיקה של מערכת גופים קשיחים

מבוא

מערכת של גופים קשיחים כוללת גופים קשיחים, שנסמנם ב-.

על גק”ש פועל שקול כוחות חיצוניים ובנוסף כוחות פנימיים - כוח פנימי המופעל על גוף ע”י גוף , ופועל בנקודה . לפי חוק שלישי של ניוטון, מתקיים .

על גוף פועל שקול מומנטים חיצוניים ביחס למרכז המסה שלו . בנוסף, פועל עליו מומנט פנימי המופעל ע”י גוף . גם, לפי חוק הפעולה והתגובה, .

דוגמה: מטוטלת כפולה

נתונה זרוע רובוטית עם שני מפרקים ממונעים. יש כאן שני מומנטים, אבל יש הבדל מהותי בין ו-. המומנט מופעל ע”י הקיר, כך שהוא למעשה מומנט חיצוני. לעומת זאת פועל גם על המפרק העליון וגם על המפרק התחתון. לכן, אם נרצה לבנות דג”ח על כל אחד מהגופים (נתייחס כאן רק למומנטים, בלי כוחות), נקבל:

את הסימן של המומנט הפנימי בכל דג”ח נוכל לבחור שרירותית, כמו במוצקים 1.

תנע קווי

עבור גוף קשיח יחיד, ראינו כי המאזן תנע קווי הוא:

במערכת גופים קשיחים, עבור גוף , המאזן תנע קווי יהיה מהצורה:

כאשר הוא התאוצה של מרכז המסה של גוף .
עבור כלל המערכת, נסכום פשוט את כל המאזנים של כל הגופים, וכמו במערכת חלקיקים, אנו מקבלים מאזן מהצורה:

כאשר מוגדר להיות התנע הקווי הכולל של המערכת:

אם נסמן ב- את מרכז המסה של כל המערכת, וב- את המסה הכוללת של המערכת, ונוכל לרשום את המאזן גם בצורה המקובלת:

תנע זוויתי

עבור גוף יחיד, המאזן תנע זוויתי יחסי לנקודה נעה הוא:

עבור גוף במערכת גופים קשיחים, מאחר וגם יש מומנטים פנימיים:

כאשר הוא סכום המומנטים החיצוניים על גוף :

(ו- הוא מומנט טהור על גק”ש ).

אם סוכמים את המאזן עבור , מתבטלים ו-, ונישאר עם:

כאשר מוגדר כסכום המומנטים החיצוניים על המערכת יחסית ל-, ו- מוגדר כהתנ”ז הכולל של המערכת ביחס ל-:

דוגמה: חד אופן ממונע

נתון מודל מישורי של חד-אופן ממונע.

נניח גלגול ללא החלקה, כך ש- .
נדרש למצוא את משוואות התנועה - שתי מד”רים ב-.

בעזרת מאזן תנע זוויתי וקווי לכל גוף בנפרד, נקבל בסה”כ 6 משוואות עם 6 נעלמים. אבל, זה ארוך ומעצבן.
נוכל במקום זאת להשתמש במאזן תנע זוויתי עבור המוט ביחס למפרק, ואז להעזרת במאזן תנע זוויתי של כלל המערכת.

מאזן תנע זוויתי של גוף (המוט), ביחס למפרק :

וקטור המיקום של :

ולכן . עבור התאוצה, , ולכן:

התנע הזוויתי ביחס ל-:

המומנט ביחס ל- (כולל המומנטים הפנימיים):

נציב במאזן תנע זוויתי:

מאזן תנ”ז כולל ביחס ל-:
נתייחס לנקודה כנקודת מקום, נעה על הקרקע, ונמצאת תמיד בתחתית הגלגל (לא נקודת גוף בקרקע או בגלגל).

מהגדרת התנע הזוויתי היחסי הכולל, מתקיים .
נחשב:

נציב את ביטויים אלו, תנאי הגלגול הטהור, ועוד ביטויים אחרים במאזן התנ”ז הכולל ונקבל בסוף בסוף כי: