DEQ1_008 פתרונות טוריים למשוואות דיפרנציאליות רגילות

פתרונות טוריים למשוואות דיפרנציאליות רגילות

אלגוריתם: פתרון מד”ר בעזרת טורי חזקות

עבור משוואה מהצורה:

נחפש פתרון בצורת טור חזקות:

כלומר, נניח שפתרון המד”ר הוא מצורה זו סביב נקודה מסוימת. בשיטה זו אנו מוצאים את המקדמים , כאשר נשים לב כי זהו יכל להיות טור אינסופי - אנחנו בונים את הפולינום טיילור של הפתרון סביב נקודה מסוימת.

מהצבה נובע:

או בכללי:

כלומר, בהינתן תנאי התחלה , נקבל את המקדמים הראשונים. נמצא את ע”י הצבת הטור במשוואה ולקבלת נוסחת נסיגה.

תרגילים:

1. המד”ר: פתחו לטור סביב ומצאו נוסחת נסיגה ואת מקדמי הטור.
   פתרון:
   נסיק כי: נציב במד”ר: נסמן: ונציב בטור הראשון: נבצע השוואת מקדמים: נציב את ת”ה:
   עבור , ש- לכל זוגי.
   עבור ו-:
   • עבור נקבל:
     • עבור נקבל:
     • עבור נקבל:
     עבור כל , נמשיך לקבל:

לסיכום, פתרון המשוואה הוא:

2. מצאו פתרון כללי בעזרת פיתוח לטור סביב למשוואה:
   
   פתרון:
   
   נציב במד”ר:
   
   נחזור למשוואה ונתקן אותה:
   
   עכשיו נציב את הטורים:
   
   השוואת מקדמים:
   
   נניח שקיימים ו-:
   
   לכן הפתרון הוא: