DEQ1_005 משפט קיום ויחידות

משפט הקיום והיחידות

משפט הקיום והיחידות (מק”י)

משפט:

בהינתן מד”ר , אם ו- רציפות בתחום מסוים אזי בתחום הנ”ל יש למשוואה פתרון יחיד המקיים את תנאי ההתחלה כאשר .
במילים אחרות: לא קיימים שני פתרונות נחתכים.

תרגילים:

1. בהינתן המד”ר: הראו שפתרון המקיים חסום ב-.
   פתרון:
   נסמן: הפונקציה רציפה בכל כמכפלה של אלמנטרית עם מכנה שונה מאפס. כנ”ל גם רציפה בכל . לכן לפי משפט הקיום והיחידות יש פתרון אחד העובר ב-.
   נשים לב ש- פותרים את המשוואה.
   הפתרון היחיד (לפי מק”י) שעובר ב- נמצא בין הפתרונות . הוא לא חותך אף אחד מהם כי אז נקבל נקודה בה יש 2 פתרונות בסתירה למק”י.
2. נתונה המד”ר:
   • האם קיים פתרון העובר בנק’ ו-?
     פתרון: הפונקציות ו- רציפות ולכן תנאי מק”י מתקיימים. נשים לב כי ו- פותרים את המשוואה. אם קיים פתרון העובר בנקודה ו- הוא בהכרח חותך את בסתירה למסקנות מק”י.
     • האם קיים פתרון המקיים וגם ?
       פתרון:
       אם קיים פתרון העובר ב- הוא בהכרח חסום .
     ולכן לא קיים פתרון כנדרש.
3. מצאו 2 פתרונות למד”ר:
   
   בתחום . האם יש סתירה למק”י?
   פתרון:
   
   הפונקציה רציפה בתחום ההגדרה, אבל לא מוגדרת ב- ולכן תנאי משפט הקיום והיחידות לא קיימים ולכן לא ידוע כמה פתרונות יש למשוואה.
   נסמן :
   
   נציב:
   
   נבדוק פתרונות סינגולריים:
   
   
   רק מקיים את תנאי ההתחלה. נמשיך עם הפתרון הכללי:
   
   נציב תנאי התחלה:
   
   ואכן מצאנו 2 פתרונות המקיימים את המד”ר ותנאי ההתחלה.