DEQ1_004 משוואות מדויקות ומשפחות אורתוגונליות

משוואות מדויקות ומשפחות אורתוגונליות

משוואות מדויקות

הגדרה:

משוואה מהצורה:

תקרא מדויקת, אם הנגזרות חלקיות מקיימות:

הפתרון הכללי הוא:

כאשר:

תרגילים:

1. המד”ר: פתרון:
   נבדוק שהמשוואה מדויקת: אכן המשוואה מדויקת. את נמצא ע”י . ולסיכום: נציב את תנאי ההתחלה , ונקבל . הפתרון הוא:

משוואות מדויקות עם גורם אינטגרציה

לפעמים המשוואה איננה מדויקת אבל אם נכפול אותה בג”א מתאים היא תהפוך למדויקת.
נוסחה לג”א התלוי רק ב-:

נוסחה:

נוסחה לג”א התלוי רק ב-:

נוסחה:

תרגילים:

1. המד”ר: פתרון:
   המשוואה לא מדויקת: גורם אינטגרציה: נחזור למד”ר ונכפיל בג”א: כעת היא מדויקת: את הפתרון נמצא ע”י אינטגרל על (עם קבוע שהוא פונקציה של המשתנה ). את נמצא ע”פ : לסיכום, הפתרון הכללי הוא:

משפחות אורתוגונליות

הגדרה:

משפחות של עקומות תקראנה אורתוגונליות אם המשיקים לעקומות בכל אחת מנקודות החיתוך ניצבים זה לזה. כלומר:

מציאת משפחות אורתוגונליות:

1. חילוץ הקבוע.
2. מציאת של העקומה הנתונה.
3. הצבת הקבוע משלב א’ בביטוי של ב’.
4. מציאת ע”י .
5. פתרון המד”ר שהתקבלה בשלב ד’.

תרגילים:

1. מצאו משפחה אורתוגונלית ל-.
   פתרון:
   ראשית, נחלץ את הקבוע: נמצא את של העקומה הנתונה: נמצא את : נפתור את המד”ר: משוואה מדויקת עם ג”א . נקבל: ומכאן: נמצא את : קיבלנו:
2. הוכיחו שהמשפחה אורתוגונלית לעצמה (כלומר, מקיימת את אותה המשוואה).
   פתרון: ולכן: נפתור: