משוואות דיפרנציאליות מטיפוס הומוגני
משוואות מטיפוס הומוגני
הגדרה:
משוואה שניתן להביאה למשוואה פרידה ע”י ההצבה
נקראת משוואה מטיפוס הומוגני. כלומר, נוכל לרשום את המד”ר מחדש בצורה הבאה:
הערות:
- אין שום קשר בין משוואה מטיפוס הומוגני משוואה הומוגני. הסיבה שלשניהם קוראים הומוגנית היא נטו סיבה היסטורית חסרת משמעות.
תרגילים:
- המשוואה ותנאי ההתחלה:
פתרון: נציב נציב במשוואה: נבדוק סינגולרי בסוף ( ). נציב תנאי התחלה : לסיכום: נבדוק האם הוא פתרון סינגולרי: נציב תנאי התחלה : קיבלנו , ולכן הפתרון לא מתאים לת”ה.
משוואת ברנולי
הגדרה:
משוואה מהצורה:
אם
, נקראת משוואת ברנולי.
נשתמש בהצבה
נציב במשוואה ונקבל משוואה לינארית שאנו יודעים לפתור:
הערות:
- עבור
, הוא פתרון.
תרגילים:
- המשוואה:
פתרון: המשוואה תעבור: וכמובן גם פתרון. - המשוואה:
פתרון:
נשתמש בהצבה:נקבל את המשוואה: נפתור ע”י אינטגרציה בחלקים. אגף ימין, ללא המינוס: נבצע את ההצבות: וגם את ההצבות: ולאחר מחשבה רבה ואינטגרציה חלקים פעמיים עם ההצבות הנ”ל, נקבל: נחזיר את המינוס ונקבל את אגף ימין: וכמובן הפתרון .