משוואות לינאריות מסדר ראשון
אלגוריתם: שיטת גורם האינטגרציה
שיטה לפתרון משוואה דיפרנציאלית נקראת שיטת גורם האינטגרציה, שבה נוכל להשתמש כאשר המשוואה מסדר ראשון, לינארית ומנורמלת.
משוואה לינארית מסדר ראשון:
כעת נכפיל את המד”ר בגורם אינטגרציה
נכפול את המשוואה:
כעת, מחוקי נגזרות נוכל לרשום:
ועכשיו כל מה שנותר לעשות הוא לבצע אינטגרציה על שני האגפים:
תרגילים:
- המשוואה:
פתרון:
נכפיל בגורם האינטגרציה:במקרה שלנו: אין צורך להוסיף קבוע אינטגרציה ( ).
נכפיל:כעת נבצע אינטגרציה: נוכל לבצע אינטגרציה בחלקים, או פשוט להיעזר בנוסחא: נפעיל אותה: לסיכום: כאשר הוא הפתרון של ההומוגני, ו- הוא הפתרון הפרטי. - המשוואה:
המשוואה לא לינארית ב- , אבל היא כן לינארית ב- . נשתמש במשפט נגזרת פונקציה הפוכה: אזי: וכעת נוכל לפתור כמו בתרגיל הקודם, ונקבל: - המשוואה:
פתרון: קיבלנו מד”ר שהיא לינארית ב- , אבל כן לינארית ב- . נכפול בג”א: - המשוואה:
משוואה מסדר שני.
נגדיר. אזי: - המשוואה:
ננרמל: ג”א: נכפיל: ונקבל: נציב את תנאי ההתחלה : ולכן:
אלגוריתם: שיטת וריאציית הפרמטר
- שלב ראשון:
פתרון המשוואה ההומוגנית המתאימה. - שלב שני:
מציאת פתרון פרטי למד”ר הלא הומוגנית ע”י החלפת קבוע האינטגרציה מהשלב הקודם לפונקציה. - שלב שלישי:
סכום הפתרונות של השלבים הקודמים הוא הפתרון הכללי לבעיה. כלומר, הפתרון הכללי הוא:שימו לב שעיקרון זה מאוד דומה לפתרון ממ”ל לא הומגנית.
תרגילים:
- המשוואה:
בתחום .
פתרון:
ננרמל את המד”ר:נפתור בעזרת וריאציית הפרמטר.
החלק ההומוגני:כאשר ב- הכנסו את ה- ל- מטעמי נוחות - הרי זה לא משנה איך נבחר את ה- .
נשים לב כי כאשר חילקנו ב-, אנחנו מפספסים פתרון אפשרי. במקרה זה אכן הוא לא פתרון למד”ר הלא הומוגנית, אך במובן הכללי, צריך תמיד לבדוק.
כעת, נציב במד”ר המקורית (הלא הומוגנית):ולכן פתרון פרטי של המד”ר: ולכן פתרון כללי לבעיה: לסיכום, נציב את תנאי ההתחלה : ולכן הפתרון הוא:
משוואות פרידות
הגדרה:
משוואה שניתן להפריד בין משתני ה-
וה- שלה בצורה הבאה: נקראת משוואה פרידה.
פתרונה:
הערות:
- לא נשכח לבדוק האם
הוא גם פתרון של המד”ר. - מהעובדה ש-
היא גם פונקציה שתלויה ב- , לפעמים נוח להסתכל על משוואה פרידה כך:
תרגילים:
- המשוואה:
פתרון: אין צורך לבדוק פתרון סינגולרי, הרי מלכתחילה נמצא במכנה כחלק מהמשוואה - לא אנחנו חילקנו בערך זה. ע”פ התנאי התחלה נבחר בשורש השלילי: נציב אותו: ולכן הפתרון הוא: - המשוואה:
ננסה להפריד: נבדוק בהמשך האם הוא פתרון סינגולרי. נבדוק את , וקיבלנו . פתרון זה נכלל בפתרון הקודם, ולכן הפתרון הסופי: - המשוואה:
פתרון:
נתחיל מהתחום: נכפיל בג”א: נציב . קיבלנו: בתחום : כדי שהפתרון הכללי יהיה רציף, נדרוש: ולכן: לסיכום:
אלגוריתם: החלפת משתנים
- המשוואה:
פתרון:
נסמן. המשוואה עם תיראה בצורה הבאה: לא נשכח סינגולרי . פירוק לשברים חלקיים: נציב בחזרה : נבדוק האם קיימים פתרונות סינגולריים: שהם פותרים את המשוואה ולכן פתרונות סינגולריים. - המשוואה:
**פתרון**: נסמן $v=2x+3y$: $$ v'=2+3y'\implies y'=\frac{v'-2}{3} $$ נציב במשוואה: $$ \begin{gather} \frac{v'}{3}-\frac{2}{3}=\frac{1}{\sin v}-\frac{2}{3} \\ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=\frac{3}{\sin v} \\ \sin v\mathrm{d}v=3\mathrm{d}x \end{gather} $$ במקרה זה אין פתרון סינגולרי. $$ \begin{gather} -\cos v=3x+c \\ \cos v=-3x-c \\ v=\arccos (-3x-c) \\ 2x+3y=\arccos (-3x-c) \\ y=\frac{\arccos (-3x-c)-2x}{3} \end{gather} $$