CAL2_008 טיילור 2.0

הערות:

כל הגדרה כאן ניתן בקלות להרחיב לפונקציה ב- משתנים.

תהי פונקציה דיפ’ ב-. אזי לפי הגדרה:

ומתקיים:

אנו יודעים כי המישור הוא קירוב לינארי של הפונקציה בנקודה .

ניקח את הדוגמה הבאה:

דוגמאות:

נשים לב כי .

נניח ואנו רוצים לחשב את ערך הפונקציה בנקודה .
נמצא את הנגזרות החלקיות בנקודה :

וכמו טיילור במשתנה אחד:

ונסיק כי:

אבל כמו טיילור במשתנה אחד, אנו יודעים שיש קירובים יותר טובים.

נביט בטיילור במשתנה אחד:

הקירוב הלינארי נתן לנו את פולינום טיילור מסדר ראשון לשני משתנים:

נעבור כעת לקירוב הריבועי - המקביל לביטוי לטיילור במשתנה אחד. הקירוב הריבועי לפונקציה בשני משתנים נתונה ע”י:

שימו לב כי החזקה של היא כמות הפעמים ש- נגזרה חלקית לפי . באותו אופן עבור עם .

הביטוי הנ”ל הוא למעשה פולינום בשני משתנים מסדר שני. כדי להגיע לביטוי זה עשינו את אותו הדבר שעשינו בטיילור במשתנה אחד - דרשנו שהנגזרות החלקיות של ושל הפולינום יהיו שווים בנקודה.

כאשר נרחיב לסדר יותר גבוה, ישנה חוקיות שתניב לנו את הנוסחה הבאה לפולינום טיילור:

המחובר ה--י של פולינום טיילור:

כאשר הוא המקדם הבינומי:

למשל עבור :

טיילור של פונקציה בשני משתנים

הגדרה:

תהי בעלת נגזרות חלקיות רציפות מסדר לפי , ול- בנקודה . נגדיר את פולינום טיילור מסדר בסביבת הנקודה בצורה הבאה:

משפט טיילור לפונקציה בשני משתנים

משפט:

נניח ש- בעלת נגזרות חלקיות מסדר רציפות ב-. אז קיימת סביבה מעגלית של שבה מתקיים:

כאשר היא השארית לפי לגראנז’:

כאשר ו-.
הנקודה מקבילה ל- בטיילור במשתנה אחד.

דוגמאות:

1. עבור והנקודה , נשים לב כי:

ולכן:

למעשה אם נמשיך לחשב נשים לב כי:

וזה אכן דומה מאוד לטיילור:

כגרף, הפונקציה והקירוב טיילור שלה עד חזקה :

טענה:

תהי הפונקציה , כאשר פונקציה של משתנה אחד. תהי בתחום ההגדרה של ונניח ש- היא פולינום ב- סביב הנקודה .
אז הפולינום הוא פולינום טיילור של במשתנה אחד ומתקבל:

דוגמאות:

1. נוכל להיעזר בהצבות כדי לחשב את טיילור. למשל עבור . נסמן . אז עבור :

תרגילים:

1. רשמו פולינום טיילור לפונקציה: סביב הראשית עד סדר שני.
   פתרון: ולכן:
2. מצאו פולינום טיילור סביב הראשית של הפונקציה: בנוסף, חשבו את .
   פתרון:
   נרשום מחדש את הפונקציה: טיילור עבור : ולכן: וכעת נוכל לרשום: סדר שלישי של טיילור נראה מהצורה הבאה: נסיק כי במקרה שלנו: ולכן: