פנגייה

CAL2_001 וקטורים

וקטורים

וקטור גיאומטרי

הגדרה:

וקטור הוא גוף גיאומטרי בעל גודל וכיוון.

סימונים
וקטור:
וקטור יחידה (וקטור עם גודל או אורך ):
וקטור האפס:
גודל וקטור:

מה עם הוקטורים שמוזכרים ב אלגברה לינארית?

מרחבים וקטוריים הם למעשה הכללה של הוקטור הגיאומטרי כפי שנלמד בקורס זה. כדי להבדיל בין השניים, לפעמים קוראים לוקטור גיאומטרי גם וקטור אוקלידי.

כפל וקטור בסקלר

הגדרה:

יהי וקטורים שונים מ- ויהי סקלר . אזי עבור הכפל הבא:

נשים לב כי אם אז הוא וקטור בכיוון של עם וגודל .
אם אז הוא וקטור בכיוון ההפוך של וגודל .
אם אז .
בנוסף, נאמר כי אם אז:

והוא נקרא הוקטור הנגדי של .

זווית בין שני וקטורים

הגדרה:

נביא שני וקטורים למצב של זנב משותף. הזווית בין שני החצים (המינימלית) היא הזווית בין הוקטורים. נסמנה ע”י , כאשר נשים לב כי .
center
נבחין בין מספר מקרים:

  • אם אז עם כיוון זהה.
  • אם אז עם כיוונים הפוכים.
  • אם אז נאמר שהווקטורים ניצבים (אורתוגונליים).

נרמול וקטור

הגדרה:

נאמר כי הפיכת וקטור לוקטור יחידה בכיוון זהה של היא נרמול של :

חיבור וחיסור וקטורים

הגדרה:

נגדיר את הסכום בצורה הבאה:

  1. נביא את שניהם למצב של זנב משותף.
  2. נשלים את המקבילות הנקבעת ע”י שניהם.
  3. נוציא אלכסון מנקודת הזנב המשותף לנקודה השנייה במקבילות.

את החיסור נגדיר בעזרת החיבור:

היטל

הגדרה:

נגדיר את ההיטל של הוקטור על הוקטור בצורה הבאה:

אם אז ההיטל של על הוא וקטור ה-.
אם ההיטל לא מוגדר.
אם ההיטל הוא .

הערה:

לפעמים מפרידים במושגים היטל והטלה, כאשר בהיטל הכוונה רק לגודל של הוקטור, ובהטלה מתכוונים לוקטור עצמו.

תלות לינארית

הגדרה:

נתונים שני וקטורים שונים מאפס.

  1. אם קיים ממשי כך ש- , אז נאמר שהם תלויים (או קולינאריים).
  2. נתון בנוסף וקטור שונה מאפס, אם השלישיה קבוצה תלויה אז מונחים על מישור אחד (קופלנרים).

מערכת קרטזית

הגדרה:


נסמן ב- וקטור יחידה בכיוון החיובי של ציר , ב- וקטור יחידה בכיוון החיובי של ציר , וב- וקטור יחידה בכיוון החיובי של ציר .
לכל נקודה נתאים וקטור שהזנב שלו בראשית והראש ב-.
בנוסף, נסמן ב- את הזווית בין ל-, ב- את הזווית בין ל-, וב- את הזווית בין ל-.
נשים לב כי:
הוקטור הוא ההיטל של בכיוון של ציר .
הוקטור הוא ההיטל של בכיוון של ציר .
הוקטור הוא ההיטל של בכיוון של ציר .
בנוסף:
1.

דוגמאות:

  1. עבור , הוקטור המתאים:

ננרמל את הוקטור:

פעולות במערכת קרטזית

משפט:

יהי שני וקטורים , . אז:

תכונות החיבור והכפל בסקלר

משפט:

יהיו שלושה וקטורים . אז:
1.

  1. אי שוויון המשולש:

תרגיל:
נתון משולש שקודקודיו בנקודות:

תיכון היוצא מקודקוד וחוצה את צלע .

  • מצאו את .
    פתרון:
    כל משולש הוא חצי של מקבילית. במקבילית אלכסונים חוצים זה את זה, ולכן נוכל לחשב את כך:
  • מצאו את חוצה זווית .
    פתרון:
    נשים לב כי כלומר המשולש שווה צלעות, ולכן הוא חוצה זווית וגובה.

מכפלה סקלרית פנימית

הגדרה:

יהיו שני וקטורים שונים מ- כאשר היא הזווית ביניהם. נגדיר את המכפלה הסקלרית שלהם בצורה הבאה:

הערות:

  1. המכפלה הסקלרית של שני וקטורים היא סקלר!
  2. אם , או , אז: .
  3. אם אז .

מכפלה סקלרית במערכת קרטזית

משפט:

נתונים שני וקטורים . אז:

הערה:

נשים לב כי:

מציאת זווית בין שני וקטורים במערכת קרטזית

מסקנה:

נתונים שני וקטורים שונים מאפס, ו- היא הזווית בינהם. אז:

דוגמאות:

  1. תהי . אזי:

מציאת היטל במערכת קרטזית

מסקנה:

נתונים שני וקטורים שונים מאפס, -ו- היא הזווית בינהם. אז ההיטל של על ניתן לחישוב באופן הבא:

תכונות המכפלה הסקלרית

משפט:

יהי הוקטורים , אז:
1.

הערות:

  1. אין קיבוציות!

כל פעולת כפל היא פעולה שונה.
2. אם:

לא ניתן להסיק כי:

דוגמאות:

  1. נתון כי ו-, כאשר .
    אזי:

שני וקטורים ניצבים אמ”ם המכפלה הסקלרית שלהם מתאפסת

טענה:

שני וקטורים ניצבים אמ”ם .

מכפלה וקטורית

הגדרה:

  • הגדרה גיאומטרית - נתונים הוקטורים כאשר היא הזווית בינהם. נגדיר את המכפלה הוקטורית בצורה הבאה: כאשר הוא וקטור יחידה שהכיוון שלו נקבע לפי חוק היד ימין.
    • הגדרה אלגברית - נתונים הווקטורים ו-, אז:

הערות:

  1. מתקיים:

נשים לב כי:

לאחר פתיחת סוגריים, שני הביטויים שווים, ולכן נוכל להסיק ששתי ההגדרות, הגיאומטרית והאלגברית, שקולות (לפחות מבחינת הגודל של הוקטור).
2. מתקיים:

ולכן:

תכונות המכפלה הוקטורית

משפט:

  1. הוקטורים תלויים אמ”ם .

שימוש גיאומטרי:

המקבילית שנבנית מ- ו-.

נשים לב כי וגם (שטח המקבילית). בנוסף:

מסקנה:

נתונים שני וקטורים שונים מאפס. אז שווה (מספרית) לשטח המקבילית הנקבע ע”י .

דוגמאות:

  1. נתונות הנקודות במרחב. חשב את שטח המשולש.

    נשים לב כי מתקיים:

וכעת נוכל לחשב את שטח המשולש:

תרגילים:

תרגיל:
יהיו שלושה וקטורים המקיימים . וגם .
חשבו:

פתרון:

תרגיל:
מצאו את השיקוף של הוקטור סביב הישר .

תרשים עזר לפתרון הבעיה.

היטל של על .

תרגיל:

נתון , , .
נסמן . חשבו את .
פתרון:

מהנתון נקבל:

ולכן:

מכאן ש:

תרגיל:
יהיו ו- אלכסונים של המקבילית כך ש:

תרשים עזר לפתרון הבעיה.

  • חשבו את שטח המקבילית.
    פתרון:
    שטח כל מרובע הוא מכפלת האלכסונים כפול סינוס הזווית בינהם לחלק ל-.
    • חשבו את הזווית במקבילית.
      פתרון:
      לפי משפט הקוסינוסים ב- :
    לפי משפט הקוסינוסים ב- : נחסר את שתי המשוואות: מסעיף א’: נחלק את שתי המשוואות:

תרגיל:

יהיו שלושה וקטורים לא קולינאריים.
הוכיחו כי:

פתרון:

  • כיוון ראשון :
    לפי הנתון: ולכן:
  • כיוון שני :
    לפי הנתון: Erroneous nesting of equation structures\begin{gather} a\times \vec{b}=\vec{b}\times \vec{c} \\ \vec{a}\times \vec{b}-\vec{b}\times \vec{c}=0 \\ \vec{a}\times \vec{b}+\vec{c}\times \vec{b}=0 \\ \vec{a}\times \vec{b}+\vec{b}\times \vec{b}+\vec{c}\times \vec{b}=0 \\ (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\times \vec{b}=0\implies \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0} \text{ or } (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \parallel\vec{b} \end{gather} $$ כמו כן, לפי הנתון: $$ \begin{gather} \vec{b}\times \vec{c}=\vec{c}\times \vec{a} \\ \vec{b}\times \vec{c}-\vec{c}\times\vec{a}=0 \\ \vec{b}\times \vec{c}+\vec{a}\times \vec{c}=0 \\ \vec{b}\times \vec{c}+\vec{c}\times \vec{c}+\vec{a}\times \vec{c}=0 \\ (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\times \vec{c}=0\implies \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0} \text{ or } (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\parallel\vec{c} \end{gather} $$ אם $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\neq 0$ נסיק כי $\vec{a}\parallel\vec{b}$ בסתירה לכך שהם *לא* קולוניאריים ולכן: $$ \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0 $$

תרגיל:

יהיו ארבעה וקטורים קולינאריים.
הוכיחו כי:

פתרון:
ארבעת הוקטורים קולינאריים ולכן ניצב למישור המכיל את הוקטורים הנ”ל. באותו אופן, גם ניצב למישור המכיל את הוקטורים הנ”ל ומכאן ש: $$
(\vec{u}\times \vec{v})\parallel(\vec{w}\times \vec{t})

ולכןהמכפלההוקטוריתשלהםאפסכלומר

(\vec{u}\times \vec{v})\times(\vec{w}\times \vec{t})=\vec{0}

תרגיליהיוארבעהוקטוריםשכולםשוניםמאפסוכךשמתקייםהאםמכאןנובעבהכרחכיהםקולינארייםפתרוןהטענהלאנכונהדוגמהנגדית

\vec{u}=\vec{v}=\hat{\mathbf{i}}, \quad \vec{w}=\hat{\mathbf{j}}, \quad \vec{t}=\hat{\mathbf{k}}

You can't use 'macro parameter character #' in math modeאכן מתקיים $(\underbrace{ \vec{u}\times \vec{v} }_{ \vec{0} })\times(\vec{w}\times \vec{t})=0$ אבל הם לא כולם על אותו המישור. --- ### מכפלה משולשת >[!def] הגדרה: > >נתונים הוקטורים $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$. הביטוי $(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}$ או $\vec{a}\times(\vec{b}\times \vec{c})$ נקרא **מכפלה משולשת**. >[!theorem] משפט: > >נתונים שלושה וקטורים $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ בת"ל. אז: >1. מתקיים: > $$ > (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}=\vec{b}\cdot(\vec{a}\cdot \vec{c}) -\vec{a}\cdot(\vec{b}\cdot \vec{c}) > $$ >2. מתקיים (bac to cab): > $$ > \vec{a}\times(\vec{b}\times \vec{c})=\vec{b}\cdot(\vec{a}\cdot \vec{c})- \vec{c}\cdot(\vec{a}\cdot \vec{b}) > $$ ### מכפלה מעורבת >[!def] הגדרה: > >נתונים שלושה וקטורים $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$. הביטוי: $\vec{a}\cdot(\vec{b}\times \vec{c})$ או $(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}$ נקרא **מכפלה מעורבת**. >[!theorem] משפט: > > נתונים הוקטורים $\vec{a}=({a}_{1},{a}_{2},{a}_{3}), \quad \vec{b}=({b}_{1},{b}_{2},{b}_{3}), \quad \vec{c}=({c}_{1},{c}_{2},{c}_{3})$. > אז: > 1. מתקיים:$$ > \vec{a}\cdot(\vec{b}\times \vec{c})=\begin{vmatrix} > {a}_{1} & {a}_{2} & {a}_{3} \\ > {b}_{1} & {b}_{2} & {b}_{3} \\ > {c}_{1} & {c}_{2} & {c}_{3} > \end{vmatrix} > $$ > 2. מתקיימת **תכונת הציקליות**: > $$ > \vec{a}\cdot(\vec{b}\times \vec{c})=\vec{c}\cdot(\vec{a}\times \vec{b})=\vec{b}\cdot(\vec{c}\times \vec{a}) > $$ > > 3. הביטוי $|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times \vec{c})|$ שווה לנפח המקבילון הנקבע ע"י $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$. > ![[CAL2_001 וקטורים 2023-03-22 15.59.51.excalidraw.svg]] >[!info] מסקנה: > >אם המכפלה המעורבת של $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ היא $0$, אז שלושת הוקטורים מונחים על אותו המישור. --- **תרגיל**: יהיו $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ שלושה וקטורים בת"ל. ויהי $\vec{v}$ וקטור נוסף המקיים:

\vec{v}\cdot \vec{a}=1, \quad \quad \vec{v}\cdot \vec{b}=\vec{v}\cdot \vec{c}=0

נסמן

\lambda=(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}

הוכחכי

\lambda \vec{v}=\vec{b}\times \vec{c}

פתרוןשגוי

\begin{gather}
\lambda=(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c} \
\lambda \vec{v}=(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}\cdot \vec{v} \tag{1}\
\lambda \vec{v}=(\vec{b}\times \vec{c})\underbrace{ \vec{a}\cdot \vec{v} }_{ 1 } \tag{2}\
\lambda \vec{v}=\vec{b}\times \vec{c} \
\end{gather}

You can't use 'macro parameter character #' in math modeמעבר מ-$(1)$ ל-$(2)$ הוא מעבר שגוי! אין קיבוציות בכפל סקלרי! (ראה הערות ב[[#תכונות-המכפלה-הסקלרית|תכונות המכפלה הסקלרית]]). **פתרון**:

\begin{gather}
\vec{v}\cdot \vec{b}=0\implies \vec{v}\perp \vec{b} \
\vec{v}\cdot \vec{c}=0\implies \vec{v}\perp \vec{c}
\end{gather}\implies \vec{v} \parallel\vec{b}\times \vec{c}

ולכן

\begin{gather}
\vec{v}=\alpha(\vec{b}\times \vec{c}) \tag{1}\
\vec{v}\cdot \vec{a}=\alpha(\vec{b}\times \vec{c})\cdot \vec{a} \
\vec{v}\cdot \vec{a}=\alpha \vec{a}\cdot(\vec{b}\times \vec{c}) \
\vec{v}\cdot \vec{a}=\alpha (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c} \
\vec{v}\cdot \vec{a}=\alpha\lambda \
1=\alpha\lambda
\end{gather}

נציבב

\begin{gather}
1\cdot \vec{v}=\alpha(\vec{b}\times \vec{c}) \
\alpha\lambda \cdot \vec{v}=\alpha(\vec{b}\times \vec{c}) \
\lambda\vec{v}=(\vec{b}\times \vec{c})
\end{gather}