ALG1_007 מטריצות הפיכות

מטריצות הפיכות

מטריצה הפיכה

הגדרה:

תהי מטריצה . אומרים ש- הפיכה אם קיימת מטריצה כך ש-.
מטריצה נקראת המטריצה ההפוכה/ההופכית של , ומסומנת ב-.

דוגמאות:

1. מטריצת היחידה הפיכה כי .
2. כל מטריצה סקלרית הפיכה כי .
3. מטריצת האפס היא מטריצה לא הפיכה.

תכונות מטריצה הפיכה

משפט:

תהי .

1. ההופכית של היא יחידה.
2. המכפלה גם הפיכה ומתקיים .
3. הסכום לא בהכרח הפיך.
4. השחלוף גם הפיכה ומתקיים .

הוכחה:

1. נניח בשלילה ש- בעלת 2 מטריצות הפיכות, ו-, כך ש-. אזי מתקיים: וגם: ולכן: קיבלנו כי בסתירה להנחתנו.
   לכן ל- הפיכה יחידה.

מטריצה אלמנטרית

הגדרה:

מטריצה שמתקבלת מהפעלת פעולה אלמנטרית אחת על שורות נקראת מטריצה אלמנטרית.

סימון:

כאשר היא פעולה אלמנטרית, ו- היא המטריצה אלמנטרית.

דוגמאות:

1. עבור פעולה אלמנטרית מסוג ראשון:

2. פעולה אלמנטרית מסוג שני:

3. פעולה אלמנטרית מסוג שלישי:

כל מטריצה אלמנטרית היא הפיכה

משפט:

כל מטריצה אלמנטרית היא הפיכה. כמו כן, אם (כאשר היא הפעולה ההפוכה ל-), אז היא ההופכית של .

הוכחה:

אלגוריתם: מציאת הופכי ע”י דירוג

נניח ש- שקולת שורות ל-, כלומר, קיימות פעולות אלמנטריות כך ש:

ולכן:

לפי אסוצ’ כפל מטריצות:

לכן, אם שקולת שורות ל-, אז הפיכה. וכן:

מצאנו אלגוריתם למציאת : נדרג את המטריצה עד שנקבל את המטריצה :

---

תרגילים:

1. מצא את כאשר: ולכן מתקיים:
2. פתור את המערכת הבאה: נכתוב את המטריצה: ידוע שהיא הפיכה, לפי הדוגמה הקודמת ולכן .
   לכן מתקיים: ולכן

תרגילים:

1. מצא את ההופכית של: נדרג את המטריצה עד שנקבל את מטריצת היחידה:
2. פתרו את המערכת .

מטריצה ריבועית שקולת שורות למטריצת היחידה אמ”ם דרגותיהן שוות

משפט:

תהי . אזי שקולת שורות ל- אם”ם .

הוכחה:

אם שקולת שורות ל- אז

בכיוון השני, תהי כך ש- ונתבונן ב- מטריצה מדורגת של .

בשורה , ישנו לפחות אפס אחד.
בשורה , ישנו לפחות אפסים.
בשורה , ישנם לפחות אפסים.

איברי האלכסון במדורגת שונים מאפס. מצורה זו אפשר בקלות להגיע ל-. ולכן שקולת שורות ל-.

מטריצה ריבועית הפיכה אמ”ם דרגתה שווה לסדר שלה

משפט:

תהי . אזי הפיכה אם”ם .

הוכחה:

• כיוון ראשון: נניח כי . ולכן לפי משפט, שקולת שורות ל-. לכן לפי האלגוריתם , הפיכה.
• כיוון שני: נניח ש- הפיכה, כלומר קיימת לה , כך ש-.
  נשתמש במשפט: . מתקיים: אבל ל-יש שורות. לכן .

סיכום תכונות המטריצה ההפיכה

משפט:

התנאים הבאים שקולים עבור :

1. המטריצה הפיכה.
2. מתקיים
3. המטריצה שקולת שורות ל-.
4. שורותיה בת”ל
5. עמודותיה בת”ל
6. המטריצה ניתנת לכתיבה כמכפלת אלמנטריות.
7. למערכת יש פתרון יחיד.
8. למערכת ההומגונית המתאימה יש רק הפתרון הטריוויאלי.

גם התנאים הבאים שקולים עבור :

1. המטריצה לא הפיכה
2. מתקיים
3. המטריצה שקולת שורות למדורגת בעלת לפחות שורת אפסים אחת.
4. שורותיה ת”ל
5. עמודותיה ת”ל
6. המטריצה לא ניתנת לכתיבה כמכפלת אלמנטריות בלבד.
7. למערכת או שיש אינסוף פתרונות או אין פתרון.
8. למערכת ההומגונית המתאימה קיים פתרון לא טריוויאלי.

הוכחה:

נראה ש-1 6:

כלומר, הפיכה אם”ם היא ניתנת לכתיבה כמכפלת אלמנטריות.

• כיוון ראשון:

נניח ש- הפיכה. ראינו שאז: . אזי:

יש משמעות ל-, כי ראינו היום שאלמנטריות הן הפיכות.

• כיוון שני:

נניח ש-
ניתנת לכתיבה כמכפלת אלמנטריות. אז היא מכפלת מטריצות הפיכות.

ואז מכפלת הפיכות היא הפיכה.

סכום שורה של מטריצה הפיכה

טענה:

תהי מטריצה הפיכה שסכום כל האיברים בכל שורה שלה הוא . אזי סכום כל האיברים בכל שורה של הוא .

הוכחה:
כאשר אנו מכפילים את בוקטור עמודה אנו מקבלים וקטור עמודה שהוא הסכום של כל האיברים של כל שורה ב- (נובע מכפל מטריצות). כלומר, במקרה שלנו:

נתון כי הפיכה ולכן נוכל לכפול משמאל ב-:

נכפול ב-:

קיבלנו כי סכום כל האיברים בכל שורה של היא .

תרגילים:

1. תהא כך שהיא מאפסת את הפולינום . הוכיחו כי הפיכה.
   נתון כי מאפסת את הפולינום - כלומר: לכן הפיכה, ומתקיים:

תרגילים: הוכח/הפרך:

1. אם הפיכה וסימטרית אז גם סימטרית.
   הטענה נכונה:
2. אם הפיכה אז הפיכה ו- הפיכה.
   הטענה לא נכונה: לא נתון כי ו- ריבועיות! למשל: אכן הפיכה (היא מטריצת היחידה) אבל לא ריבועיות ולכן לא הפיכות.
3. נתון כי ו-. אז הפיכה אמ”ם וגם הפיכות.
   הטענה נכונה:
   • כיוון ראשון: נניח כי הפיכות.
     • כיוון שני:
       נניח כי הפיכה אבל אחת מ- לא הפיכות. אז אחד מ- קטן ממש מ- (לפי הסיכום). אבל (לפי משפט) בסתירה לכך ש- הפיכה.
4. אם הפיכות אז גם הפיכה.
   הטענה לא נכונה. למשל, שתי המטריצות הבאות הפיכות:
   
   אבל סכומן:
   
   סכום זה בעל דרגה קטנה מ- ולכן מטריצה זו לא הפיכה.
5. אם הפיכות ונניח הפיכה. אז .
   הטענה לא נכונה. למשל:
   
   ואכן:
   
   אבל:
   
6. אם אז ו- הפיכות.
   הטענה נכונה:
   
   לכן:
   - המטריצה הפיכה ו-: וגם:
   - המטריצה הפיכה ו-:.
7. אם בת”ל, הפיכה, אז בת”ל.
   הטענה נכונה:
   ניקח צ”ל מתאפס:
   
   המטריצה הפיכה ולכן אפשר לכפול ב-:
   
   לפי הנתון בת”ל ולכן חייב להתקיים:
   
   כלומר, לפי הגדרה, בת”ל.
8. אם אז לא הפיכה.
   הטענה נכונה. מתקיים . וגם:
   
   כלומר לא מדרגה מלאה ולכן לא הפיכה.

תרגילים:

1. יהיו כך ש-. הוכיחו כי .
   נכתוב: לכן, לכל מתקיים . לכן: בנוסף, הוא מ”ו ולכן גם: ולכן: